Se forall x in R, g(x) = x^2 e b é uma constante, determine limx to 2 (g(x+b)-g(x)).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida para todos os números reais , e é uma constante. Precisamos determinar o limite quando se aproxima de 2 da expressão . Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função g(x+b) - g(x) = (x + b)^2 - x^2 na expressão do limite. Sabemos que e . Então, a expressão dentro do limite fica:

Passo 3

Agora, vamos expandir o termo (x + b)^2 = x^2 + 2bx + b^2 usando a fórmula do quadrado da soma:
g(x+b) - g(x) = (x^2 + 2bx + b^2) - x^2 = 2bx + b^2
Substituindo na expressão anterior:

Passo 4

Com a expressão simplificada para limx to 2 (g(x+b) - g(x)) = limx to 2 (2bx + b^2) , podemos reescrever o limite:
Como essa é uma função polinomial, sabemos que o limite de uma função polinomial em um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto.

Passo 5

Vamos substituir 2b cdot 2 + b^2 = 4b + b^2 na expressão:
4b + b^2
Então, o limite é:

Resposta

limx to 2 (g(x+b) - g(x)) = 4b + b^2

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