Obtenha o valor de

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado com limites, um conceito fundamental no cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões envolvendo raízes e aplicar técnicas de limite, como a substituição e a racionalização quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador . Como está se aproximando de 1, podemos substituir por 1 dentro do módulo: . Então, .

Passo 3

Agora, substituindo diretamente na expressão, teríamos , que é uma indeterminação. Isso significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 4

Vamos reescrever a expressão sem o valor absoluto, já que é sempre positivo próximo de . Então, a expressão fica .

Passo 5

Para resolver essa indeterminação, podemos usar a fórmula do limite da derivada. Reconhecemos que a expressão se assemelha à definição da derivada da função em .

Passo 6

Vamos calcular a derivada de . Usando a regra do poder, temos:
Então, .

Passo 7

Calculando , sabemos que , então .

Passo 8

Substituindo de volta na derivada:
Portanto, o limite sem o módulo é .

Passo 9

Como o valor dentro do valor absoluto é positivo ( ), o valor absoluto não altera o resultado.

Resposta

O valor do limite é .

Exercícios relacionados

Determine, se existir, os seguintes limites:
(a)
(j)
(b)
(k)
©
(l)
(s)
(d)
(m)
(t)
(u)
(e)
(n)
(v)
(f)
(o)
(w)
(g)
§
(x)
(h)
(q)
(y)
(i)
®
(z) .
Se , e é uma constante, determine .
Explique o significado de
O que você pode dizer sobre o limite de quando tende a 1 ?
Determine, se existir, os seguintes limites:
(b)