Em um teste com um tipo de fusível, 9 peças foram analisadas. O tempo médio até queimar dessa amostra foi 19,2 minutos, com desvio-padrão populacional conhecido 2,4 minutos. Sabe-se que a população é Normal. Calcule o intervalo de confiança de 95% para a verdadeira média da população.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Estatística onde analisamos 9 fusíveis. A média do tempo até queimar foi de 19,2 minutos e o desvio-padrão populacional conhecido é de 2,4 minutos. Queremos calcular o intervalo de confiança de 95% para a verdadeira média da população. Para isso, vamos usar a distribuição normal e a fórmula do intervalo de confiança para a média quando o desvio-padrão da população é conhecido.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão (SE) mostra quão distante a média da amostra está da média verdadeira da população. A fórmula é:
SE = sigmaraizn
Onde:
  • sigma = 2,4 minutos (desvio-padrão populacional)
  • n = 9 (tamanho da amostra)
Vamos calcular:
SE = 2,4raiz9 = 2,43 = 0,8

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor crítico correspondente ao nível de confiança de 95%. Para uma distribuição normal, o valor crítico z para 95% de confiança é aproximadamente 1,96. Isso significa que 95% dos valores da distribuição estão dentro de 1,96 desvios-padrão da média.

Passo 4

Com o erro padrão e o valor crítico, podemos calcular a margem de erro. A margem de erro indica até quanto a média da amostra pode variar em relação à média verdadeira da população.
Mar>=m de Erro = z times SE = 1,96 times 0,8 = 1,568

Passo 5

Finalmente, para encontrar o intervalo de confiança, subtraímos e adicionamos a margem de erro à média da amostra:
IC = barx pm Mar>=m de Erro = 19,2 pm 1,568
Isso nos dá:
  • Limite Inferior: 19,2 - 1,568 = 17,632 minutos
  • Limite Superior: 19,2 + 1,568 = 20,768 minutos

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a verdadeira média da população é de 17,63 minutos a 20,77 minutos.

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