Uma força aplicada paralelamente a uma superfície horizontal varia com a distância com a função F=(2 x^2+3 x) N. Qual o valor do trabalho realizado por esta força se o corpo de desloca da posição 1 m para a posição 10 m ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma força que varia com a distância, dada pela função Newtons. A gente precisa calcular o trabalho realizado por essa força quando o objeto se desloca de 1 metro até 10 metros na direção horizontal. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integral, que nos ajuda a somar infinitas pequenas forças ao longo desse deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é trabalho. Trabalho ( W = integralx1^x2 F(x) , dx ) é a energia transferida quando uma força move um objeto ao longo de um deslocamento. Matematicamente, quando a força varia com a posição, calculamos o trabalho usando a integral da força em relação à distância:
No nosso caso, , m e m.

Passo 3

Vamos então montar a integral com os limites dados:
W = integral1^10 (2x^2 + 3x) , dx
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar o trabalho realizado.

Passo 4

Vamos integrar termo a termo:
  1. A integral de integral 2x^2 , dx = 23x^3 em relação a integral 3x , dx = 32x^2 é:
W = ( 23x^3 + 32x^2 ) g|1^10
  1. A integral de em relação a é:
Então, a integral completa fica:

Passo 5

Agora, vamos substituir os limites de integração (10 e 1) na expressão integrada:
  1. Para 23(10)^3 + 32(10)^2 = 23 times 1000 + 32 times 100 = 20003 + 150 :
23(1)^3 + 32(1)^2 = 23 + 32 = 136
  1. Para :

Passo 6

Vamos calcular a diferença entre os valores obtidos nos limites:
W = ( 20003 + 150 ) - 136
Primeiro, convertendo 150 para ter o mesmo denominador:
150 = 4503
Então:
W = 20003 + 4503 - 136 = 24503 - 136
Convertendo para denominador 6:
24503 = 49006
Portanto:
W = 49006 - 136 = 48876
W = 814,5 , J

Resposta

O trabalho realizado pela força é de 814,5 J.

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