Quando a força P é aplicada à placa, o perfil de velocidade para um fluido newtoniadno confinado sob a placa é aproximado por
u=12 y^1 / 4 mm / s, onde y está em mm. Determine a tensão de cisalhamento dentro do fluido em y=8 mm. Considere m=0,5(10^-3) N s / m^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a tensão de cisalhamento dentro de um fluido newtoniano que está confinado sob uma placa. A equação que descreve o perfil de velocidade do fluido é mm/s, onde está em mm. A gente precisa calcular essa tensão de cisalhamento em mm, usando o valor de viscosidade N·s/m². Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade varia com a posição e como isso se relaciona com a tensão de cisalhamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para fluidos newtonianos, a tensão de cisalhamento tau = mu dudy é calculada pela fórmula:
Aqui, é a viscosidade do fluido, é a derivada da velocidade em relação à posição . Nosso objetivo é encontrar essa derivada e depois multiplicar pela viscosidade para obter .

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função de velocidade dudy = 12 times 14 y^-3/4 = 3 y^-3/4 em relação a dudy = 3y^3/4 :
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, substituímos dudy = 38^3/4 mm na derivada que encontramos:
8^3/4 = (2^3)^3/4 = 2^9/4 approx 2^2.25 approx 4.7568
Calculando dudy approx 34.7568 approx 0,6303 mm^-1s^-1 :
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da tensão de cisalhamento:
tau = mu dudy
Substituindo os valores:
tau = 0,5 times 10^-3 N·s/m² times 0,6303 mm^-1s^-1 ²
Antes de multiplicar, precisamos converter mm para metros para manter as unidades consistentes:
0,6303 mm^-1s^-1 = 0,6303 times 10^3 m^-1s^-1 = 630,3 m^-1s^-1
Agora, multiplicando:
tau = 0,5 times 10^-3 times 630,3 = 0,3152 N/m² ²
Ou seja:
tau approx 0,315 Pa

Resposta

A tensão de cisalhamento dentro do fluido em mm é aproximadamente 0,315 Pa.

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