Quando a força
é aplicada à placa, o perfil de velocidade para um fluido newtoniano confinado sob a placa é aproximado por
, onde
está em mm. Determine a tensão de cisalhamento dentro do fluido
. Considere
.
PROBLEMAS 137 e 1.38
PROBLEMAS 137 e 1.38
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema onde uma força $ \mathbf{P} $ está sendo aplicada a uma placa, e isso cria um perfil de velocidade no fluido que está embaixo dela. A equação dada para a velocidade é $ u = 12 y^{14} $ mm/s, onde $ y $ é a distância da placa em milímetros. Nosso objetivo aqui é encontrar a tensão de cisalhamento $ \tau $ no ponto onde $ y = 8 $ mm, usando a viscosidade $ \mu = 0,5 \times 10^{-3} $ N·s/m². Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade muda com a distância (derivada) e como isso se relaciona com a tensão de cisalhamento em fluidos newtonianos.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que todas as unidades estejam consistentes. A fórmula da tensão de cisalhamento para um fluido newtoniano é:
Aqui, $ \mu $ está em N·s/m², então vamos converter $ y $ de milímetros para metros para manter as unidades compatíveis.
Sabemos que:
Então, $ y = 8 $ mm é igual a $ 0,008 $ m.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{du}{dy} $.
Nossa função de velocidade é:
Convertendo $ u $ para m/s:
Então:
Agora, derivamos $ u $ em relação a $ y $:
Passo 4
Substituímos $ y = 0,008 $ m na expressão da derivada:
Calculando $ (0,008)^{13} $:
Isso resulta em um número muito pequeno, praticamente zero para cálculos práticos. Porém, para fins de exercício, continuamos:
Passo 5
Agora, usamos a fórmula da tensão de cisalhamento:
Substituindo os valores:
Resposta
A tensão de cisalhamento no ponto $ y = 8 $ mm é aproximadamente $ 1,41 \times 10^{-43} $ N/m².