Quando a força P é aplicada à placa, o perfil de velocidade para um fluido newtoniano confinado sob a placa é aproximado por u=(12 y^14) mm / s, onde y está em mm. Determine a tensão de cisalhamento dentro do fluido em y=8 mm. Considere mu=0.5(10^-3) N cdot s / m^2.
PROBLEMAS 137 e 1.38

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema onde uma força $ \mathbf{P} $ está sendo aplicada a uma placa, e isso cria um perfil de velocidade no fluido que está embaixo dela. A equação dada para a velocidade é $ u = 12 y^{14} $ mm/s, onde $ y $ é a distância da placa em milímetros. Nosso objetivo aqui é encontrar a tensão de cisalhamento $ \tau $ no ponto onde $ y = 8 $ mm, usando a viscosidade $ \mu = 0,5 \times 10^{-3} $ N·s/m². Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade muda com a distância (derivada) e como isso se relaciona com a tensão de cisalhamento em fluidos newtonianos.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que todas as unidades estejam consistentes. A fórmula da tensão de cisalhamento para um fluido newtoniano é:
tau = mu dudy
Aqui, $ \mu $ está em N·s/m², então vamos converter $ y $ de milímetros para metros para manter as unidades compatíveis.
Sabemos que:
mu
Então, $ y = 8 $ mm é igual a $ 0,008 $ m.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{du}{dy} $.
Nossa função de velocidade é:
u
Convertendo $ u $ para m/s:
y
Então:
dudy
Agora, derivamos $ u $ em relação a $ y $:
u = 12 y^14 mm/s
u

Passo 4

Substituímos $ y = 0,008 $ m na expressão da derivada:
y = 0,008
Calculando $ (0,008)^{13} $:
dudy = 0,168 times (0,008)^13
Isso resulta em um número muito pequeno, praticamente zero para cálculos práticos. Porém, para fins de exercício, continuamos:
(0,008)^13
(0,008)^13 = 8^-13 times 10^-3 times 13 = 8^-13 times 10^-39

Passo 5

Agora, usamos a fórmula da tensão de cisalhamento:
tau = mu dudy
Substituindo os valores:
tau = 0,5 times 10^-3 N·s/m² times 2,817 times 10^-40 s^-1 ²
tau = 1,4085 times 10^-43 N/m² ²

Resposta

A tensão de cisalhamento no ponto $ y = 8 $ mm é aproximadamente $ 1,41 \times 10^{-43} $ N/m².

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