A placa de 0,15 m de largura passa entre duas camadas, A e B, de óleo com uma viscosidade de mu=0,04 N cdot s / m^2. Determine a força P necessária para mover a placa a uma velocidade constante de 6 mm / s. Despreze qualquer atrito nos suportes das extremidades e considere que o perfil de velocidade que corta cada camada seja linear.
PROBLEMA 1.43

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma placa com largura de 0,15 metros que está se movendo entre duas camadas de óleo, chamadas A e B. A viscosidade do óleo é de 0,04 N·s/m². A gente precisa descobrir qual é a força P que precisamos aplicar para mover essa placa a uma velocidade constante de 6 mm/s. Para resolver isso, vamos usar conceitos de viscosidade e força em fluidos, além de considerar que a velocidade do óleo varia de forma linear em cada camada.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade de 6 mm/s para metros por segundo, para manter as unidades consistentes:
6 , mm/s = 0,006 , m/s

Passo 3

A força necessária para mover a placa depende da viscosidade do óleo e da diferença de velocidade entre a placa e as camadas de óleo. Como a velocidade do óleo muda linearmente de cima para baixo em cada camada, podemos aplicar a lei de viscosidade de Newton, que relaciona a força viscosa com a viscosidade, a área de contato e o gradiente de velocidade.

Passo 4

A fórmula da força viscosa (F) é dada por:
F = mu cdot A cdot De
Onde:
  • mu é a viscosidade do óleo,
  • A é a área de contato,
  • De é a diferença de velocidade,
  • d é a distância entre as camadas.

Passo 5

Vamos identificar cada uma dessas variáveis no nosso problema:
  • mu = 0,04 , N·s/m²²,
  • A largura da placa w = 0,15 , m,
  • A velocidade De,
  • A distância d = espessura de cada camada (vamos supor que cada camada tenha a mesma espessura, mas essa informação não foi dada diretamente, então consideraremos que a distância total é a largura da placa).

Passo 6

Assumindo que a distância entre as camadas é igual à largura da placa ( d = 0,15 , m), a área de contato A é a largura multiplicada pela área de movimento, que no caso é também a largura, então:
A = w times w = 0,15 , m times 0,15 , m = 0,0225 , m² ²

Passo 7

Agora, substituímos todos os valores na fórmula da força viscosa:
F = 0,04 , N·s/m² times 0,0225 , m² times 0,006 , m/s0,15 , m ²²

Passo 8

Vamos calcular o gradiente de velocidade:
De

Passo 9

Agora, multiplicamos todos os valores:
F = 0,04 times 0,0225 times 0,04 = 0,000036 , N

Resposta

A força necessária para mover a placa a uma velocidade constante de 6 mm/s é de 0,000036 N.

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