A força de atração entre um cátion divalente e um ânion divalente é de 1,67 times 10^-8 N. Se o raio iônico do cátion é de 0,080 nm, qual é o raio do ânion?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma força de atração entre um cátion divalente e um ânion divalente, e precisa encontrar o raio do ânion. Esse problema está relacionado à eletrostática, que estuda as forças entre cargas elétricas. Para resolver, vamos usar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre duas cargas elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb, que nos diz como calcular a força de atração ou repulsão entre duas cargas elétricas. A fórmula é:
F = ke cdot |q1 q2|r^2
Onde:
  • $ F $ é a força entre as cargas,
  • $ k_e $ é a constante eletrostática ($ 8,988 \times 10^9 , N·m²/C² $),
  • $ q_1 $ e $ q_2 $ são as magnitudes das cargas,
  • $ r $ é a distância entre os centros das cargas.

Passo 3

No nosso caso, temos um cátion divalente ($ q_1 = +2e q1 = +2e â q_2 = -2e $), onde $ e $ é a carga elementar ($ 1,602 \times 10^{-19} , C $). A força $ F $ é $ 1,67 \times 10^{-8} , N $.
Queremos encontrar o raio do ânion. Sabemos que a distância $ r $ entre os centros dos íons é a soma dos raios dos íons:
q2 = -2e
Onde:
  • $ r_+ $ é o raio do cátion (já dado: $ 0,080 , nm $),
  • $ r_- $ é o raio do ânion (o que queremos encontrar).

Passo 4

Vamos reorganizar a Lei de Coulomb para resolver $ r $:
r
Substituindo os valores conhecidos:
  • $ k_e = 8,988 \times 10^9 , N·m²/C² $
  • $ q_1 = 2e = 2 \times 1,602 \times 10^{-19} , C $
  • $ q_2 = 2e = 2 \times 1,602 \times 10^{-19} , C $
  • $ F = 1,67 \times 10^{-8} , N $

Passo 5

Vamos calcular $ |q_1 q_2| $:
|q1 q2|
|q1 q2| = |(2 times 1,602 times 10^-19) times (2 times 1,602 times 10^-19)|
|q1 q2| = (3,204 times 10^-19) times (3,204 times 10^-19) ²

Passo 6

Agora, substituímos todos os valores na fórmula de $ r $:
r
Primeiro, fazemos a multiplicação no numerador:
r = raiz8,988 times 10^9 times 1,026 times 10^-371,67 times 10^-8
Agora, dividimos pelo denominador:
8,988 times 10^9 times 1,026 times 10^-37 = 9,222 times 10^-28
Agora, tiramos a raiz quadrada:
9,222 times 10^-281,67 times 10^-8 = 5,527 times 10^-20
r = raiz5,527 times 10^-20
r = 7,43 times 10^-10 , m

Resposta

O raio do ânion é de aproximadamente 0,743 nm.

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