Encontre a velocidade v e a posição x em função de t de uma partícula de massa m que parte do repouso em t=0 sujeita às seguintes forças:
F=k t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a velocidade e a posição de uma partícula com massa que começa do repouso no instante e está sujeita a uma força que varia com o tempo segundo a lei .
Vamos usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. Para isso, vamos precisar integrar a força para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton:
F = m cdot a
Onde:
  • k t^2 = m cdot a é a força aplicada,
  • k t^2 = m cdot dvdt é a massa da partícula,
  • é a aceleração.
No nosso caso, a força é fornecida por . Então, podemos escrever:
Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo ( ), temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade dvdt = km t^2 .
Primeiro, isolamos integral dvdt , dt = integral km t^2 , dt :
v(t) = km cdot t^33 + C
Para encontrar , precisamos integrar ambos os lados em relação ao tempo :
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Sabemos que a partícula parte do repouso, ou seja, a velocidade inicial 0 = km cdot 0^33 + C Rightarrow C = 0 . Vamos usar essa condição para encontrar v(t) = k3m t^3 :
Então, a expressão para a velocidade fica:

Passo 5

Agora que temos a velocidade v(t) = dxdt , vamos encontrar a posição dxdt = k3m t^3 .
Sabemos que velocidade é a derivada da posição:
integral dxdt , dt = integral k3m t^3 , dt
Substituindo x(t) = k3m cdot t^44 + D :
Vamos integrar ambos os lados para encontrar :
Isso resulta em:
Onde é outra constante de integração.

Passo 6

Usando a condição inicial que a partícula parte do repouso em 0 = k3m cdot 0^44 + D Rightarrow D = 0 , temos que a posição inicial é x(t) = k12m t^4 . Vamos encontrar :
Portanto, a expressão para a posição é:

Resposta

A velocidade e a posição da partícula em função do tempo são:
v(t) = k3m t^3
x(t) = k12m t^4

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