Encontre a velocidade
e a posição
em função de
de uma partícula de massa
que parte do repouso em
sujeita às seguintes forças:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a velocidade
e a posição
de uma partícula com massa
que começa do repouso no instante
e está sujeita a uma força que varia com o tempo segundo a lei
.
Vamos usar conceitos de dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. Para isso, vamos precisar integrar a força para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton:
Onde:
-
é a força aplicada, -
é a massa da partícula, -
é a aceleração.
No nosso caso, a força
é fornecida por
. Então, podemos escrever:
Como a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo (
), temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade
.
Primeiro, isolamos
:
Para encontrar
, precisamos integrar ambos os lados em relação ao tempo
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Sabemos que a partícula parte do repouso, ou seja, a velocidade inicial
. Vamos usar essa condição para encontrar
:
Então, a expressão para a velocidade fica:
Passo 5
Agora que temos a velocidade
, vamos encontrar a posição
.
Sabemos que velocidade é a derivada da posição:
Substituindo
:
Vamos integrar ambos os lados para encontrar
:
Isso resulta em:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Usando a condição inicial que a partícula parte do repouso em
, temos que a posição inicial é
. Vamos encontrar
:
Portanto, a expressão para a posição é:
Resposta
A velocidade e a posição da partícula em função do tempo são: