A força que atua sobre um corpo é dada por F(x)=(1 N / m^3) x^3-(4 N / m) x. Determine as posições de equilíbrio estável e instável e mostre que, nestes pontos, U(x) é, respectivamente, um mínimo ou um máximo. Resp: Em x=0 o equilíbrio é estável e U(x) é um mínimo; em x= pm 2 o equilíbrio é instável e U(x) é um máximo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma força que depende da posição , especificamente . Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos onde o corpo está em equilíbrio, ou seja, onde a força é zero. Depois disso, vamos analisar se esses pontos de equilíbrio são estáveis ou instáveis, e verificar se a energia potencial nesses pontos é um mínimo ou um máximo. Para isso, vamos precisar entender conceitos de equilíbrio estável/instável, energia potencial e derivadas para encontrar mínimos e máximos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as posições de equilíbrio. Isso acontece quando a força F(x) = 0 implies (1 , N/m^3) x^3 - (4 , N/m) x = 0 é igual a zero:
Vamos resolver essa equação para .

Passo 3

Vamos fatorar a equação para facilitar a resolução:
x ( (1 , N/m^3) x^2 - (4 , N/m) ) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 4

Vamos resolver a segunda possibilidade:
(1 , N/m^3) x^2 - (4 , N/m) = 0 implies x^2 = 4 , N/m1 , N/m^3 = 4 , m^2
Então:
x = pm raiz4 = pm 2 , m

Passo 5

Agora temos três posições de equilíbrio:
Vamos determinar se cada uma dessas posições é estável ou instável, e se é um mínimo ou máximo nesses pontos.

Passo 6

Para isso, precisamos da energia potencial U(x) = -integral F(x) , dx = -integral ( x^3 - 4x ) dx = -( x^44 - 2x^2 ) + C relacionada à força U(x) = -x^44 + 2x^2 . Sabemos que . Vamos integrar para encontrar :
Podemos ignorar a constante , pois somente diferenças de energia são relevantes.

Passo 7

Agora, para determinar se dUdx = -x^3 + 4x é um mínimo ou máximo nos pontos de equilíbrio, vamos analisar a segunda derivada de d^2Udx^2 = -3x^2 + 4 .
Primeiro, encontramos a primeira derivada:
Já sabemos que nos pontos de equilíbrio, .
Agora, a segunda derivada:

Passo 8

Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos de equilíbrio:
  1. Para d^2Udx^2 = -3(0)^2 + 4 = 4 > 0 :
d^2Udx^2 = -3(2)^2 + 4 = -12 + 4 = -8 < 0
Como a segunda derivada é positiva, d^2Udx^2 = -3(-2)^2 + 4 = -12 + 4 = -8 < 0 tem um mínimo em , indicando que o equilíbrio é estável.
  1. Para :
Aqui, a segunda derivada é negativa, então tem um máximo em , o que significa que o equilíbrio é instável.
  1. Para :
Da mesma forma, a segunda derivada negativa indica que tem um máximo em , tornando o equilíbrio instável.

Resposta

Em o equilíbrio é estável e é um mínimo; em o equilíbrio é instável e é um máximo.

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