A força que atua sobre um corpo é dada por
. Determine as posições de equilíbrio estável e instável e mostre que, nestes pontos,
é, respectivamente, um mínimo ou um máximo. Resp:
o equilíbrio é estável e
é um mínimo; em
o equilíbrio é instável e
é um máximo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma força que depende da posição
, especificamente
. Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos onde o corpo está em equilíbrio, ou seja, onde a força é zero. Depois disso, vamos analisar se esses pontos de equilíbrio são estáveis ou instáveis, e verificar se a energia potencial
nesses pontos é um mínimo ou um máximo. Para isso, vamos precisar entender conceitos de equilíbrio estável/instável, energia potencial e derivadas para encontrar mínimos e máximos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as posições de equilíbrio. Isso acontece quando a força
é igual a zero:
Vamos resolver essa equação para
.
Passo 3
Vamos fatorar a equação para facilitar a resolução:
Isso nos dá duas possibilidades:
Passo 4
Vamos resolver a segunda possibilidade:
Então:
Passo 5
Agora temos três posições de equilíbrio:
Vamos determinar se cada uma dessas posições é estável ou instável, e se
é um mínimo ou máximo nesses pontos.
Passo 6
Para isso, precisamos da energia potencial
relacionada à força
. Sabemos que
. Vamos integrar
para encontrar
:
Podemos ignorar a constante
, pois somente diferenças de energia são relevantes.
Passo 7
Agora, para determinar se
é um mínimo ou máximo nos pontos de equilíbrio, vamos analisar a segunda derivada de
.
Primeiro, encontramos a primeira derivada:
Já sabemos que nos pontos de equilíbrio,
.
Agora, a segunda derivada:
Passo 8
Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos de equilíbrio:
- Para
:
Como a segunda derivada é positiva,
tem um mínimo em
, indicando que o equilíbrio é estável.
- Para
:
Aqui, a segunda derivada é negativa, então
tem um máximo em
, o que significa que o equilíbrio é instável.
- Para
:
Da mesma forma, a segunda derivada negativa indica que
tem um máximo em
, tornando o equilíbrio instável.
Resposta
Em
o equilíbrio é estável e
é um mínimo; em
o equilíbrio é instável e
é um máximo.
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, onde
está em metros por segundo e
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até
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Esboce o gráfico de x(t).
© Determine
Esboce o gráfico de x(t).
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são ortogonais, isto é, mostre que
Sendo
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Sejam A e
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