Sejam A e f campos vetorial e escalar, respetivamente, bem-comportados. Demonstre as identidades: nabla times(nabla f)=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois campos: nabla times (nabla f) = 0 que é um campo vetorial e que é um campo escalar, ambos bem-comportados (ou seja, suaves o suficiente para trabalharmos com eles). O objetivo é demonstrar que o rotacional do gradiente de é igual a zero, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições de gradiente e rotacional, além de algumas propriedades básicas do cálculo vetorial.

Passo 2

Vamos começar definindo o que é o gradiente de uma função escalar. O gradiente de nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) , denotado por , é um campo vetorial que aponta na direção de maior variação de e cujo módulo é a taxa de variação nessa direção. Matematicamente, em coordenadas cartesianas, temos:

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial nabla times V = ( partial Vzpartial y - partial Vypartial z, partial Vxpartial z - partial Vzpartial x, partial Vypartial x - partial Vxpartial y ) . O rotacional, denotado por , mede a tendência de rotação do campo ao redor de um ponto e é calculado como:

Passo 4

Vamos aplicar o rotacional ao gradiente de nabla times (nabla f) = ( partialpartial y ( partial fpartial z ) - partialpartial z ( partial fpartial y ), partialpartial z ( partial fpartial x ) - partialpartial x ( partial fpartial z ), partialpartial x ( partial fpartial y ) - partialpartial y ( partial fpartial x ) ) . Ou seja, vamos calcular :

Passo 5

Observamos que, em cada componente do vetor resultante, estamos subtraindo derivadas mistas que são iguais devido à propriedade de comutatividade das derivadas parciais para funções suaves. Ou seja:
partial^2 fpartial y partial z = partial^2 fpartial z partial y, partial^2 fpartial z partial x = partial^2 fpartial x partial z, partial^2 fpartial x partial y = partial^2 fpartial y partial x
Isso faz com que cada componente do rotacional seja zero.

Passo 6

Portanto, concluímos que:
nabla times (nabla f) = 0

Resposta

nabla times (nabla f) = 0

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