Sejam A e campos vetorial e escalar, respetivamente, bem-comportados. Demonstre as identidades:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois campos: que é um campo vetorial e que é um campo escalar, ambos bem-comportados (ou seja, suaves o suficiente para trabalharmos com eles). O objetivo é demonstrar que o rotacional do gradiente de é igual a zero, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições de gradiente e rotacional, além de algumas propriedades básicas do cálculo vetorial.

Passo 2

Vamos começar definindo o que é o gradiente de uma função escalar. O gradiente de , denotado por , é um campo vetorial que aponta na direção de maior variação de e cujo módulo é a taxa de variação nessa direção. Matematicamente, em coordenadas cartesianas, temos:

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial . O rotacional, denotado por , mede a tendência de rotação do campo ao redor de um ponto e é calculado como:

Passo 4

Vamos aplicar o rotacional ao gradiente de . Ou seja, vamos calcular :

Passo 5

Observamos que, em cada componente do vetor resultante, estamos subtraindo derivadas mistas que são iguais devido à propriedade de comutatividade das derivadas parciais para funções suaves. Ou seja:
Isso faz com que cada componente do rotacional seja zero.

Passo 6

Portanto, concluímos que:

Resposta

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