Sejam A e
campos vetorial e escalar, respetivamente, bem-comportados. Demonstre as identidades:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois campos:
que é um campo vetorial e
que é um campo escalar, ambos bem-comportados (ou seja, suaves o suficiente para trabalharmos com eles). O objetivo é demonstrar que o rotacional do gradiente de
é igual a zero, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições de gradiente e rotacional, além de algumas propriedades básicas do cálculo vetorial.
Passo 2
Vamos começar definindo o que é o gradiente de uma função escalar. O gradiente de
, denotado por
, é um campo vetorial que aponta na direção de maior variação de
e cujo módulo é a taxa de variação nessa direção. Matematicamente, em coordenadas cartesianas, temos:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial
. O rotacional, denotado por
, mede a tendência de rotação do campo ao redor de um ponto e é calculado como:
Passo 4
Vamos aplicar o rotacional ao gradiente de
. Ou seja, vamos calcular
:
Passo 5
Observamos que, em cada componente do vetor resultante, estamos subtraindo derivadas mistas que são iguais devido à propriedade de comutatividade das derivadas parciais para funções suaves. Ou seja:
Isso faz com que cada componente do rotacional seja zero.
Passo 6
Portanto, concluímos que: