A velocidade de uma particula é dada por v(t)=8 t-7, onde v está em metros por segundo e t em segundos.
© Determine x(t) (posição da particula em função do tempo) e use este resultado para determinar seu deslocamento durante o intervalo t=2 s até t=6 s. Qual a velocidade média neste intervalo de tempo?
Esboce o gráfico de x(t).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de velocidade da partícula, , onde está em metros por segundo e em segundos. Precisamos encontrar a posição da partícula em função do tempo, , e depois usar essa função para calcular o deslocamento entre s e s. Também vamos determinar a velocidade média nesse intervalo.

Passo 2

Para encontrar a posição x(t) = integral v(t) , dt = integral (8t - 7) , dt a partir da velocidade , precisamos integrar a função de velocidade em relação ao tempo. A integração é o processo inverso da derivada e nos dá a posição a partir da velocidade.
A integral de é:

Passo 3

Vamos calcular a integral:
x(t) = integral 8t , dt - integral 7 , dt = 4t^2 - 7t + C
Onde x(t) = 4t^2 - 7t é a constante de integração. Se não temos condições iniciais, podemos considerar para simplificar. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o deslocamento entre De s e x(6) = 4(6)^2 - 7(6) = 4 times 36 - 42 = 144 - 42 = 102 metros s. O deslocamento é a diferença entre a posição final e a posição inicial:
x(2) = 4(2)^2 - 7(2) = 4 times 4 - 14 = 16 - 14 = 2 metros
Primeiro, calculamos De:
Em seguida, calculamos :
Então, o deslocamento é:

Passo 5

Para encontrar a velocidade média nesse intervalo de tempo, usamos a fórmula:
vmédia = Deé
Onde vmédia = 100 m4 s = 25 m/s segundos.
Então:
é

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é . O deslocamento entre s e s é de 100 metros. A velocidade média nesse intervalo é de 25 metros por segundo.

Observação sobre o Gráfico

O gráfico de é uma parábola que abre para cima. No eixo horizontal está o tempo e no eixo vertical a posição . A parábola mostra como a posição aumenta com o tempo de forma quadrática.

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