Mostre que as autofunções normalizadas para a partícula no poço de potencial infinito de largura
são ortogonais, isto é, mostre que
Sendo
a delta de Kronnecker.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que as autofunções normalizadas de uma partícula num poço de potencial infinito com largura
são ortogonais. Isso faz parte da matéria de Mecânica Quântica, especialmente estudando partículas em caixas/quartas (também conhecidas como “poços de potencial”). Para resolver isso, vamos precisar usar as funções de onda (autofunções) da partícula nesse tipo de poço e verificar a condição de ortogonalidade delas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como são as autofunções normalizadas para uma partícula em um poço de potencial infinito. Para um poço de largura
centrado na origem (de
a
), as soluções são funções senoidais e cossenoidais que satisfazem as condições de contorno (a função de onda é zero nas paredes do poço). As autofunções normalizadas geralmente são dadas por:
onde
é um número inteiro positivo (
).
Passo 3
Agora, vamos verificar a ortogonalidade dessas funções. Queremos mostrar que:
A delta de Kronecker,
, é igual a 1 quando
e 0 caso contrário.
Passo 4
Vamos substituir as expressões das autofunções na integral:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Usamos uma identidade trigonométrica para simplificar o produto de senos:
Aplicando isso:
Simplificando:
Passo 6
As integrais de cosseno de múltiplos inteiros de
sobre o intervalo simétrico
resultam em zero quando
, devido à periodicidade e simetria das funções. Quando
, a primeira integral se torna:
E a segunda integral, com
, ainda resulta em zero.
Passo 7
Portanto, temos:
- Se
: a integral total é zero. - Se
: a integral total é .
Isso corresponde exatamente à definição da delta de Kronecker,
.
Resposta
Concluímos que:
Ou seja, as autofunções normalizadas para a partícula no poço de potencial infinito de largura
são ortogonais.