Mostre que as autofunções normalizadas para a partícula no poço de potencial infinito de largura L são ortogonais, isto é, mostre que
integral-L / 2^+L / 2 psin(x) psim(x) d x=de
Sendo de a delta de Kronnecker.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que as autofunções normalizadas de uma partícula num poço de potencial infinito com largura L são ortogonais. Isso faz parte da matéria de Mecânica Quântica, especialmente estudando partículas em caixas/quartas (também conhecidas como “poços de potencial”). Para resolver isso, vamos precisar usar as funções de onda (autofunções) da partícula nesse tipo de poço e verificar a condição de ortogonalidade delas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como são as autofunções normalizadas para uma partícula em um poço de potencial infinito. Para um poço de largura L centrado na origem (de -L/2 a +L/2), as soluções são funções senoidais e cossenoidais que satisfazem as condições de contorno (a função de onda é zero nas paredes do poço). As autofunções normalizadas geralmente são dadas por:
psin(x) = raiz2L sin(npi xL)
onde n é um número inteiro positivo ( n = 1, 2, 3, dots).

Passo 3

Agora, vamos verificar a ortogonalidade dessas funções. Queremos mostrar que:
integral-L / 2^+L / 2 psin(x) psim(x) , dx = de
A delta de Kronecker, de, é igual a 1 quando n = m e 0 caso contrário.

Passo 4

Vamos substituir as expressões das autofunções na integral:
integral-L / 2^+L / 2 ( raiz2L sin(npi xL) ) ( raiz2L sin(mpi xL) ) dx
Simplificando os coeficientes:
2L integral-L / 2^+L / 2 sin(npi xL) sin(mpi xL) dx

Passo 5

Usamos uma identidade trigonométrica para simplificar o produto de senos:
sin A sin B = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)]
Aplicando isso:
2L cdot 12 integral-L / 2^+L / 2 [ cos((n - m)pi xL) - cos((n + m)pi xL) ] dx
Simplificando:
1L [ integral-L / 2^+L / 2 cos((n - m)pi xL) dx - integral-L / 2^+L / 2 cos((n + m)pi xL) dx ]

Passo 6

As integrais de cosseno de múltiplos inteiros de pi x / L sobre o intervalo simétrico [-L/2, L/2] resultam em zero quando n neq m, devido à periodicidade e simetria das funções. Quando n = m, a primeira integral se torna:
integral-L / 2^+L / 2 cos(0) dx = integral-L / 2^+L / 2 1 , dx = L
E a segunda integral, com n + m, ainda resulta em zero.

Passo 7

Portanto, temos:
  • Se n neq m: a integral total é zero.
  • Se n = m: a integral total é 1L cdot L = 1.
Isso corresponde exatamente à definição da delta de Kronecker, de.

Resposta

Concluímos que:
integral-L / 2^+L / 2 psin(x) psim(x) , dx = de
Ou seja, as autofunções normalizadas para a partícula no poço de potencial infinito de largura L são ortogonais.

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