Uma força atua sobre uma partícula de 2,5 kg de tal forma que a posição da partícula varia em função do tempo de acordo com a expressão: x=3 t^4-2 t^3-t^2, onde x é expresso em metros e t em segundos. Calcule: (b) a potência instantânea para t=2,0 s.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. A gente tem uma força agindo sobre uma partícula de 2,5 kg, e a posição dessa partícula varia com o tempo segundo a equação x = 3 t^4 - 2 t^3 - t^2. Queremos calcular a potência instantânea nesse sistema quando t = 2,0 s. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento, como velocidade e aceleração, além da relação entre força e potência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula em função do tempo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar x(t):
v(t) = dxdt = ddt(3 t^4 - 2 t^3 - t^2) = 12 t^3 - 6 t^2 - 2 t

Passo 3

Agora que temos a velocidade, vamos achar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dvdt = ddt(12 t^3 - 6 t^2 - 2 t) = 36 t^2 - 12 t - 2

Passo 4

Com a aceleração, podemos calcular a força que está agindo na partícula usando a segunda lei de Newton, que diz que força é igual à massa vezes a aceleração:
F(t) = m cdot a(t) = 2,5 kg cdot (36 t^2 - 12 t - 2)
Vamos simplificar essa expressão:
F(t) = 2,5 cdot 36 t^2 - 2,5 cdot 12 t - 2,5 cdot 2 = 90 t^2 - 30 t - 5 N

Passo 5

Por último, para encontrar a potência instantânea, usamos a fórmula:
P(t) = F(t) cdot v(t)
Já temos F(t) = 90 t^2 - 30 t - 5 e v(t) = 12 t^3 - 6 t^2 - 2 t. Vamos multiplicar esses dois:
P(t) = (90 t^2 - 30 t - 5) cdot (12 t^3 - 6 t^2 - 2 t)
Para simplificar, podemos multiplicar cada termo:
P(t) &= 90 t^2 cdot 12 t^3 + 90 t^2 cdot (-6 t^2) + 90 t^2 cdot (-2 t) & -30 t cdot 12 t^3 -30 t cdot (-6 t^2) -30 t cdot (-2 t) & -5 cdot 12 t^3 -5 cdot (-6 t^2) -5 cdot (-2 t) &= 1080 t^5 - 540 t^4 - 180 t^3 - 360 t^4 + 180 t^3 + 60 t^2 & -60 t^3 + 30 t^2 + 10 t &= 1080 t^5 - 900 t^4 - 60 t^3 + 90 t^2 + 10 t

Passo 6

Agora, substituímos t = 2,0 s na equação de potência que encontramos:
P(2) = 1080 (2)^5 - 900 (2)^4 - 60 (2)^3 + 90 (2)^2 + 10 (2)
Calculando cada termo:
1080 cdot 32 &= 34560 -900 cdot 16 &= -14400 -60 cdot 8 &= -480 90 cdot 4 &= 360 10 cdot 2 &= 20
Somando tudo:
34560 - 14400 - 480 + 360 + 20 = 20060 W

Resposta

A potência instantânea para t = 2,0 s é de 20.060 W.

Exercícios relacionados