Uma força atua sobre uma partícula de 2,5 kg de tal forma que a posição da partícula varia em função do tempo de acordo com a expressão: x=3 t^4-2 t^3-t^2, onde x é expresso em metros e t em segundos. Calcule: (a) o trabalho realizado pela força nos 3 segundos iniciais

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física onde precisamos calcular o trabalho realizado por uma força sobre uma partícula nos primeiros 3 segundos. A partícula tem uma massa de 2,5,kg e sua posição em função do tempo é dada por x(t) = 3t^4 - 2t^3 - t^2, onde x está em metros e t em segundos. Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de cinemática, como velocidade e aceleração, e a fórmula do trabalho.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da partícula em função do tempo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar x(t):
v(t) = dxdt = ddt(3t^4 - 2t^3 - t^2) = 12t^3 - 6t^2 - 2t

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar v(t):
a(t) = dvdt = ddt(12t^3 - 6t^2 - 2t) = 36t^2 - 12t - 2

Passo 4

Com a aceleração em mãos, podemos determinar a força atuando na partícula usando a segunda lei de Newton, que diz que a força é igual à massa vezes a aceleração:
F(t) = m cdot a(t) = 2,5,kg cdot (36t^2 - 12t - 2) = 90t^2 - 30t - 5,N

Passo 5

Para calcular o trabalho realizado pela força nos primeiros 3 segundos, usamos a fórmula do trabalho:
W = integralt1^t2 F(t) cdot v(t) , dt
Onde:
  • F(t) é a força em função do tempo.
  • v(t) é a velocidade em função do tempo.
  • t1 = 0,s e t2 = 3,s.
Vamos multiplicar F(t) por v(t):
F(t) cdot v(t) = (90t^2 - 30t - 5)(12t^3 - 6t^2 - 2t)
Vamos simplificar a expressão antes de integrar:
F(t) cdot v(t) = 90t^2 cdot 12t^3 + 90t^2 cdot (-6t^2) + 90t^2 cdot (-2t) -30t cdot 12t^3 -30t cdot (-6t^2) -30t cdot (-2t) -5 cdot 12t^3 -5 cdot (-6t^2) -5 cdot (-2t)
Calculando cada termo:
= 1080t^5 - 540t^4 - 180t^3 - 360t^4 + 180t^3 + 60t^2 - 60t^3 + 30t^2 + 10t
Agora, somamos os termos semelhantes:
= 1080t^5 - (540t^4 + 360t^4) + (-180t^3 + 180t^3 - 60t^3) + (60t^2 + 30t^2) + 10t = 1080t^5 - 900t^4 - 60t^3 + 90t^2 + 10t
Agora, integramos essa expressão de 0 a 3 segundos:
W = integral0^3 (1080t^5 - 900t^4 - 60t^3 + 90t^2 + 10t) , dt = [ 10806t^6 - 9005t^5 - 604t^4 + 903t^3 + 102t^2 ]0^3 = [ 180t^6 - 180t^5 - 15t^4 + 30t^3 + 5t^2 ]0^3
Calculando para t = 3:
= 180(3)^6 - 180(3)^5 - 15(3)^4 + 30(3)^3 + 5(3)^2 = 180 cdot 729 - 180 cdot 243 - 15 cdot 81 + 30 cdot 27 + 5 cdot 9 = 131220 - 43740 - 1215 + 810 + 45 = 131220 - 43740 = 87580 87580 - 1215 = 86365 86365 + 810 = 87175 87175 + 45 = 87220,J

Resposta

O trabalho realizado pela força nos 3 segundos iniciais é de 87.220,J.

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