Uma força atua sobre uma partícula de
de tal modo que a posç̧ão da mesma, como função do tempo, é dada por
, onde
é expresso em metros e t, em segundos. (a) Ache o trabalho realizado pela força durante os primeiros 4 segundos. (b) Qual é a potência instantânea no instante
? Resp: (a)
; (b)
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula de massa
cuja posição em função do tempo é dada por:
O conteúdo envolvido aqui é cinemática e dinâmica, especificamente envolvendo trabalho e potência. Para resolver as questões, vamos precisar entender como calcular a velocidade, a aceleração, a força, o trabalho realizado pela força e a potência instantânea.
Passo 2
Vamos começar encontrando a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Passo 4
Com a aceleração, podemos calcular a força aplicada usando a segunda lei de Newton:
Passo 5
Para encontrar o trabalho realizado pela força nos primeiros 4 segundos, usamos a definição de trabalho como a integral da força vezes a velocidade em relação ao tempo:
Vamos multiplicar
e
:
Multiplicando os termos:
Simplificando:
Agora, integramos de 0 a 4:
Integrando cada termo:
Simplificando:
Substituindo
:
Calculando cada termo:
Somando:
Passo 6
Agora, vamos calcular a potência instantânea no instante
. A potência é dada pelo produto da força e da velocidade nesse instante:
Primeiro, encontraremos
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Agora, calculamos a potência:
Resposta
(a)
;
(b) .
(b)