Uma força atua sobre uma partícula de de tal modo que a posç̧ão da mesma, como função do tempo, é dada por , onde é expresso em metros e t, em segundos. (a) Ache o trabalho realizado pela força durante os primeiros 4 segundos. (b) Qual é a potência instantânea no instante ? Resp: (a) ; (b) .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula de massa cuja posição em função do tempo é dada por:
O conteúdo envolvido aqui é cinemática e dinâmica, especificamente envolvendo trabalho e potência. Para resolver as questões, vamos precisar entender como calcular a velocidade, a aceleração, a força, o trabalho realizado pela força e a potência instantânea.

Passo 2

Vamos começar encontrando a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

Passo 4

Com a aceleração, podemos calcular a força aplicada usando a segunda lei de Newton:

Passo 5

Para encontrar o trabalho realizado pela força nos primeiros 4 segundos, usamos a definição de trabalho como a integral da força vezes a velocidade em relação ao tempo:
Vamos multiplicar e :
Multiplicando os termos:
Simplificando:
Agora, integramos de 0 a 4:
Integrando cada termo:
Simplificando:
Substituindo :
Calculando cada termo:
Somando:

Passo 6

Agora, vamos calcular a potência instantânea no instante . A potência é dada pelo produto da força e da velocidade nesse instante:
Primeiro, encontraremos e .
Calculando :
Calculando :
Agora, calculamos a potência:

Resposta

(a) ;
(b) .

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