Uma força atua sobre uma partícula de 3,0 kg de tal modo que a posç̧ão da mesma, como função do tempo, é dada por x(t)=(3 m / s) t-(4 m / s^2) t^2+(1 m / s^3) t^3, onde x é expresso em metros e t, em segundos. (a) Ache o trabalho realizado pela força durante os primeiros 4 segundos. (b) Qual é a potência instantânea no instante t=1,0 s ? Resp: (a) W=528 J; (b) P=12 W.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula de massa 3,0 kg cuja posição em função do tempo é dada por:
x(t) = (3 ms) t - (4 ms^2) t^2 + (1 ms^3) t^3
O conteúdo envolvido aqui é cinemática e dinâmica, especificamente envolvendo trabalho e potência. Para resolver as questões, vamos precisar entender como calcular a velocidade, a aceleração, a força, o trabalho realizado pela força e a potência instantânea.

Passo 2

Vamos começar encontrando a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos x(t) em relação a t:
v(t) = dxdt = 3 ms - 8 ms^2 t + 3 ms^3 t^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dvdt = -8 ms^2 + 6 ms^3 t

Passo 4

Com a aceleração, podemos calcular a força aplicada usando a segunda lei de Newton:
F(t) = m cdot a(t) = 3,0 kg cdot (-8 ms^2 + 6 ms^3 t) = -24 Nm + 18 Ns t

Passo 5

Para encontrar o trabalho realizado pela força nos primeiros 4 segundos, usamos a definição de trabalho como a integral da força vezes a velocidade em relação ao tempo:
W = integral0^4 F(t) cdot v(t) , dt
Vamos multiplicar F(t) e v(t):
F(t) cdot v(t) = (-24 + 18 t) cdot (3 - 8 t + 3 t^2)
Multiplicando os termos:
F(t) cdot v(t) = -72 + 192 t - 72 t^2 + 54 t - 144 t^2 + 54 t^3
Simplificando:
F(t) cdot v(t) = -72 + 246 t - 216 t^2 + 54 t^3
Agora, integramos de 0 a 4:
W = integral0^4 (-72 + 246 t - 216 t^2 + 54 t^3) dt
Integrando cada termo:
W = [-72 t + 2462 t^2 - 2163 t^3 + 544 t^4]0^4
Simplificando:
W = [-72 t + 123 t^2 - 72 t^3 + 13,5 t^4]0^4
Substituindo t = 4:
W = [-72 cdot 4 + 123 cdot 16 - 72 cdot 64 + 13,5 cdot 256]
Calculando cada termo:
  • -72 cdot 4 = -288
  • 123 cdot 16 = 1968
  • -72 cdot 64 = -4608
  • 13,5 cdot 256 = 3456
Somando:
W = -288 + 1968 - 4608 + 3456 = 528 J

Passo 6

Agora, vamos calcular a potência instantânea no instante t = 1,0 s. A potência é dada pelo produto da força e da velocidade nesse instante:
P(t) = F(t) cdot v(t)
Primeiro, encontraremos F(1) e v(1).
Calculando v(1):
v(1) = 3 - 8(1) + 3(1)^2 = 3 - 8 + 3 = -2 ms
Calculando F(1):
F(1) = -24 + 18(1) = -24 + 18 = -6 N
Agora, calculamos a potência:
P(1) = (-6 N) cdot (-2 ms) = 12 W

Resposta

(a) W=528 J;
(b) P=12 W.

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