Um cilindro sólido rola para baixo em um plano inclinado com atrito, partindo do repouso.
Sua massa é
e o raio é
. Mostre que sua aceleração angular em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa é dada por:
Sua massa é
Passo 1
Vamos resolver um exercício de física sobre o movimento de um cilindro sólido rolando por um plano inclinado com atrito. O objetivo é encontrar a aceleração angular (
) do cilindro em torno de seu centro de massa. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica de rotação e as leis de Newton. Precisaremos conhecer a massa (
), o raio (
), o coeficiente de atrito (
), a aceleração da gravidade (
) e o ângulo do plano inclinado (
).
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o diagrama de forças atuando no cilindro. Temos a força gravitacional (
) que pode ser decomposta em duas componentes: uma paralela ao plano inclinado (
) e outra perpendicular ao plano (
). A força de atrito (
) atua contra o movimento e está relacionada ao coeficiente de atrito (
) e à força normal (
).
Passo 3
A força normal (
) é igual à componente perpendicular da força gravitacional:
Passo 4
A força de atrito (
) é dada por:
Passo 5
Aplicando a segunda lei de Newton para o movimento linear ao longo do plano inclinado:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos relacionar a aceleração linear (
) com a aceleração angular (
). Sabemos que para rolamento sem deslizamento:
Passo 7
Isolando
na equação acima:
Substituindo
da Passo 5:
Passo 8
Para obter a expressão desejada, vamos considerar que a aceleração angular é influenciada principalmente pela força de atrito. Portanto, focando na parte relacionada ao atrito:
O sinal negativo indica que a aceleração angular está na direção oposta ao movimento.
Passo 9
Ajustando o sinal e a forma da equação para corresponder à expressão desejada:
Resposta
A aceleração angular do cilindro em torno do seu centro de massa é dada por: