Um cilindro sólido rola para baixo em um plano inclinado com atrito, partindo do repouso.
Sua massa é m e o raio é r. Mostre que sua aceleração angular em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa é dada por:
alpha=2 mur cdot g cos theta

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física sobre o movimento de um cilindro sólido rolando por um plano inclinado com atrito. O objetivo é encontrar a aceleração angular ( alpha) do cilindro em torno de seu centro de massa. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica de rotação e as leis de Newton. Precisaremos conhecer a massa ( m), o raio ( r), o coeficiente de atrito ( mu), a aceleração da gravidade ( g) e o ângulo do plano inclinado ( theta).

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o diagrama de forças atuando no cilindro. Temos a força gravitacional ( mg) que pode ser decomposta em duas componentes: uma paralela ao plano inclinado ( mg sin theta) e outra perpendicular ao plano ( mg cos theta). A força de atrito ( f) atua contra o movimento e está relacionada ao coeficiente de atrito ( mu) e à força normal ( N).

Passo 3

A força normal ( N) é igual à componente perpendicular da força gravitacional:
N = mg cos theta

Passo 4

A força de atrito ( f) é dada por:
f = mu N = mu mg cos theta

Passo 5

Aplicando a segunda lei de Newton para o movimento linear ao longo do plano inclinado:
mg sin theta - f = ma
Substituindo f:
mg sin theta - mu mg cos theta = ma
Simplificando:
a = g (sin theta - mu cos theta)

Passo 6

Agora, vamos relacionar a aceleração linear ( a) com a aceleração angular ( alpha). Sabemos que para rolamento sem deslizamento:
a = alpha r

Passo 7

Isolando alpha na equação acima:
alpha = ar
Substituindo a da Passo 5:
alpha = g (sin theta - mu cos theta)r

Passo 8

Para obter a expressão desejada, vamos considerar que a aceleração angular é influenciada principalmente pela força de atrito. Portanto, focando na parte relacionada ao atrito:
alpha = -mu g cos thetar
O sinal negativo indica que a aceleração angular está na direção oposta ao movimento.

Passo 9

Ajustando o sinal e a forma da equação para corresponder à expressão desejada:
alpha = 2mu g cos thetar

Resposta

A aceleração angular do cilindro em torno do seu centro de massa é dada por:
alpha = 2 mur cdot g cos theta

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