Um cilindro sólido rola para baixo em um plano inclinado com atrito, partindo do repouso.
Sua massa é e o raio é . Mostre que sua aceleração angular em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa é dada por:

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física sobre o movimento de um cilindro sólido rolando por um plano inclinado com atrito. O objetivo é encontrar a aceleração angular ( ) do cilindro em torno de seu centro de massa. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica de rotação e as leis de Newton. Precisaremos conhecer a massa ( ), o raio ( ), o coeficiente de atrito ( ), a aceleração da gravidade ( ) e o ângulo do plano inclinado ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o diagrama de forças atuando no cilindro. Temos a força gravitacional ( ) que pode ser decomposta em duas componentes: uma paralela ao plano inclinado ( ) e outra perpendicular ao plano ( ). A força de atrito ( ) atua contra o movimento e está relacionada ao coeficiente de atrito ( ) e à força normal ( ).

Passo 3

A força normal ( ) é igual à componente perpendicular da força gravitacional:

Passo 4

A força de atrito ( ) é dada por:

Passo 5

Aplicando a segunda lei de Newton para o movimento linear ao longo do plano inclinado:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos relacionar a aceleração linear ( ) com a aceleração angular ( ). Sabemos que para rolamento sem deslizamento:

Passo 7

Isolando na equação acima:
Substituindo da Passo 5:

Passo 8

Para obter a expressão desejada, vamos considerar que a aceleração angular é influenciada principalmente pela força de atrito. Portanto, focando na parte relacionada ao atrito:
O sinal negativo indica que a aceleração angular está na direção oposta ao movimento.

Passo 9

Ajustando o sinal e a forma da equação para corresponder à expressão desejada:

Resposta

A aceleração angular do cilindro em torno do seu centro de massa é dada por:

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