Uma força conservativa tem a forma F(x)=3 x^2+3 x+1 (N). Sabendo que a energia potencial é igual a zero em x=0 e que a energia mecânica do sistema é igual a 10 J , encontre: c. a amplitude de oscilação de uma partícula confinada nesse potencial.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma força conservativa dada por (N). A gente sabe que a energia potencial é zero quando e que a energia mecânica total do sistema é 10 J. Nosso objetivo aqui é encontrar a amplitude de oscilação da partícula nesse potencial. Para isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial e conservação da energia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a energia potencial F(x) = -dUdx a partir da força dUdx = -F(x) = - (3x^2 + 3x + 1) . Sabemos que a força é relacionada à energia potencial pela relação:
U(x) = -integral (3x^2 + 3x + 1) , dx = -x^3 - 32x^2 - x + C
Então, para encontrar U(0) = -0 - 0 - 0 + C = 0 Rightarrow C = 0 , precisamos integrar U(x) = -x^3 - 32x^2 - x em relação a :
Integrando ambos os lados:
Como sabemos que , podemos encontrar a constante :
Então, a energia potencial é:

Passo 3

Agora, vamos usar a conservação da energia. A energia mecânica total E = U(x) + K é a soma da energia potencial E = U(xmax) e da energia cinética 10 = -xmax^3 - 32xmax^2 - xmax :
xmax^3 + 32xmax^2 + xmax + 10 = 0
No ponto de amplitude máxima da oscilação, a velocidade da partícula é zero, então a energia cinética . Portanto:
Sabemos que J, então:
Podemos reorganizar a equação:

Passo 4

Agora, temos que resolver essa equação cúbica para encontrar (-2)^3 + 32(-2)^2 + (-2) + 10 = -8 + 6 - 2 + 10 = 6 , que será a amplitude de oscilação. Resolver equações cúbicas analiticamente pode ser complicado, então vamos fazer uma aproximação numérica.
Vamos testar alguns valores de (-3)^3 + 32(-3)^2 + (-3) + 10 = -27 + 13.5 - 3 + 10 = -6.5 :
  • Para :
  • Para :
Notamos que a função muda de sinal entre e , então a raíz está nesse intervalo.

Passo 5

Vamos refinar a aproximação usando interpolação linear. A função mudou de 6 para -6.5 quando De passou de -2 para -3. Queremos encontrar xmax = -3 + 0.48 = -2.52 onde a função é zero.
A mudança total na função é Amplitude approx 2.52 , unidades em um intervalo de . Para alcançar zero, precisamos de uma fração desse intervalo:
á
Então, começando de :
Como a amplitude é a distância positiva, temos:

Resposta

A amplitude de oscilação da partícula é aproximadamente unidades.

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