Uma força conservativa tem a forma
(N). Sabendo que a energia potencial é igual a zero em
e que a energia mecânica do sistema é igual a 10 J , encontre: c. a amplitude de oscilação de uma partícula confinada nesse potencial.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma força conservativa dada por
(N). A gente sabe que a energia potencial
é zero quando
e que a energia mecânica total do sistema é 10 J. Nosso objetivo aqui é encontrar a amplitude de oscilação da partícula nesse potencial. Para isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial e conservação da energia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a energia potencial
a partir da força
. Sabemos que a força é relacionada à energia potencial pela relação:
Então, para encontrar
, precisamos integrar
em relação a
:
Integrando ambos os lados:
Como sabemos que
, podemos encontrar a constante
:
Então, a energia potencial é:
Passo 3
Agora, vamos usar a conservação da energia. A energia mecânica total
é a soma da energia potencial
e da energia cinética
:
No ponto de amplitude máxima da oscilação, a velocidade da partícula é zero, então a energia cinética
. Portanto:
Sabemos que
J, então:
Podemos reorganizar a equação:
Passo 4
Agora, temos que resolver essa equação cúbica para encontrar
, que será a amplitude de oscilação. Resolver equações cúbicas analiticamente pode ser complicado, então vamos fazer uma aproximação numérica.
Vamos testar alguns valores de
:
- Para
:
- Para
:
Notamos que a função muda de sinal entre
e
, então a raíz está nesse intervalo.
Passo 5
Vamos refinar a aproximação usando interpolação linear. A função mudou de 6 para -6.5 quando
passou de -2 para -3. Queremos encontrar
onde a função é zero.
A mudança total na função é
em um intervalo de
. Para alcançar zero, precisamos de uma fração desse intervalo:
Então, começando de
:
Como a amplitude é a distância positiva, temos:
Resposta
A amplitude de oscilação da partícula é aproximadamente
unidades.
Exercícios relacionados
Considere dois blocos de massa
e
, um encostado no outro (Figura 1). Uma força de módulo
é aplicada no bloco
. Não há atrito. O módulo da força de contato
entre os blocos é:
3a
Considere dois blocos de massa e
, um encostado no outro (Figura 1). Uma força de módulo
é aplicada no bloco
. Não há atrito. O módulo da força de contato
entre os blocos é: (a)
(b)
©
(d)
(e)
.
Considere dois blocos de massa
Uma partícula se move de tal forma que sua posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por
. Escreva expressões para (a) sua velocidade e (b) sua aceleração em função do tempo.
A energia potencial entre duas cargas elétricas pontuais pode ser escrita
b. Qual a direção de ação dessa força?
Uma força conservativa tem a forma
(N). Sabendo que a energia potencial é igual a zero em
e que a energia mecânica do sistema é igual a 10 J , encontre: b. a energia cinética máxima e a posição em que isso ocorre