Uma força conservativa tem a forma (N). Sabendo que a energia potencial é igual a zero em e que a energia mecânica do sistema é igual a 10 J , encontre: c. a amplitude de oscilação de uma partícula confinada nesse potencial.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma força conservativa dada por (N). A gente sabe que a energia potencial é zero quando e que a energia mecânica total do sistema é 10 J. Nosso objetivo aqui é encontrar a amplitude de oscilação da partícula nesse potencial. Para isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial e conservação da energia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a energia potencial a partir da força . Sabemos que a força é relacionada à energia potencial pela relação:
Então, para encontrar , precisamos integrar em relação a :
Integrando ambos os lados:
Como sabemos que , podemos encontrar a constante :
Então, a energia potencial é:

Passo 3

Agora, vamos usar a conservação da energia. A energia mecânica total é a soma da energia potencial e da energia cinética :
No ponto de amplitude máxima da oscilação, a velocidade da partícula é zero, então a energia cinética . Portanto:
Sabemos que J, então:
Podemos reorganizar a equação:

Passo 4

Agora, temos que resolver essa equação cúbica para encontrar , que será a amplitude de oscilação. Resolver equações cúbicas analiticamente pode ser complicado, então vamos fazer uma aproximação numérica.
Vamos testar alguns valores de :
  • Para :
  • Para :
Notamos que a função muda de sinal entre e , então a raíz está nesse intervalo.

Passo 5

Vamos refinar a aproximação usando interpolação linear. A função mudou de 6 para -6.5 quando passou de -2 para -3. Queremos encontrar onde a função é zero.
A mudança total na função é em um intervalo de . Para alcançar zero, precisamos de uma fração desse intervalo:
á
Então, começando de :
Como a amplitude é a distância positiva, temos:

Resposta

A amplitude de oscilação da partícula é aproximadamente unidades.

Exercícios relacionados

Considere dois blocos de massa e , um encostado no outro (Figura 1). Uma força de módulo é aplicada no bloco . Não há atrito. O módulo da força de contato entre os blocos é:

3a
Considere dois blocos de massa e , um encostado no outro (Figura 1). Uma força de módulo é aplicada no bloco . Não há atrito. O módulo da força de contato entre os blocos é: (a) (b) © (d) (e) .
Uma partícula se move de tal forma que sua posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por . Escreva expressões para (a) sua velocidade e (b) sua aceleração em função do tempo.
A energia potencial entre duas cargas elétricas pontuais pode ser escrita b. Qual a direção de ação dessa força?
Uma força conservativa tem a forma (N). Sabendo que a energia potencial é igual a zero em e que a energia mecânica do sistema é igual a 10 J , encontre: b. a energia cinética máxima e a posição em que isso ocorre