Uma força conservativa tem a forma F(x)=3 x^2+3 x+1 (N). Sabendo que a energia potencial é igual a zero em x=0 e que a energia mecânica do sistema é igual a 10 J , encontre: b. a energia cinética máxima e a posição em que isso ocorre

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um problema de Física que envolve forças conservativas. A força é dada por (N) e sabemos que a energia potencial é zero quando . Além disso, a energia mecânica total do sistema é de 10 J. A tarefa é descobrir qual é a energia cinética máxima e em que posição isso acontece. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de energia potencial, energia cinética e conservação da energia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a energia potencial F(x) = -dUdx . Sabemos que a força é a derivada negativa da energia potencial em relação à posição:
U(x) = -integral F(x) , dx = -integral (3x^2 + 3x + 1) , dx
Então, para encontrar U(x) = -( x^3 + 32x^2 + x ) + C , integramos 0 = -( 0 + 0 + 0 ) + C Rightarrow C = 0 :
U(x) = -x^3 - 32x^2 - x
Integrando termo a termo:
Como sabemos que :
Então, a energia potencial fica:

Passo 3

Agora, vamos usar a conservação de energia. A energia mecânica total E = U(x) + K(x) é a soma da energia potencial 10 = -x^3 - 32x^2 - x + K(x) e da energia cinética K(x) = 10 + x^3 + 32x^2 + x :
Sabendo que J, temos:
Isolando a energia cinética:

Passo 4

Para encontrar a energia cinética máxima, precisamos ver onde dKdx = 3x^2 + 3x + 1 atinge seu valor mais alto. Vamos derivar 3x^2 + 3x + 1 = 0 em relação a x = -3 pm raiz9 - 126 = -3 pm raiz-36 e igualar a zero para encontrar os pontos críticos:
Igualando a derivada a zero:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como a discrimante é negativa ( ), não há soluções reais. Isso significa que a derivada nunca é zero e, portanto, não tem um ponto máximo finito.

Resposta

A energia cinética aumenta indefinidamente conforme tende ao infinito, ou seja, não há um valor máximo finito para a energia cinética nesse sistema.

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