Uma partícula se move de tal forma que sua posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por . Escreva expressões para (a) sua velocidade e (b) sua aceleração em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. A gente tem a posição de uma partícula dada por , onde é o tempo em segundos. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente derivadas, para encontrar a velocidade e a aceleração da partícula em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se a posição é , a velocidade é dada por:
Vamos derivar cada componente de :
  • A componente é constante (1), então sua derivada é 0.
  • A componente é , e a derivada de em relação a é .
  • A componente é , e a derivada de em relação a é 1.
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, se a velocidade é , a aceleração é dada por:
Vamos derivar cada componente de :
  • A componente é , e a derivada de em relação a é 8.
  • A componente é constante (1), então sua derivada é 0.
Então, juntando tudo:

Resposta

(a) A velocidade da partícula em função do tempo é .
(b) A aceleração da partícula em função do tempo é .

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