Uma partícula se move de tal forma que sua posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por
. Escreva expressões para (a) sua velocidade e (b) sua aceleração em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. A gente tem a posição de uma partícula dada por
, onde
é o tempo em segundos. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente derivadas, para encontrar a velocidade e a aceleração da partícula em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se a posição é
, a velocidade
é dada por:
Vamos derivar cada componente de
:
- A componente
é constante (1), então sua derivada é 0. - A componente
é , e a derivada de em relação a é . - A componente
é , e a derivada de em relação a é 1.
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, se a velocidade é
, a aceleração
é dada por:
Vamos derivar cada componente de
:
- A componente
é , e a derivada de em relação a é 8. - A componente
é constante (1), então sua derivada é 0.
Então, juntando tudo:
Resposta
(a) A velocidade da partícula em função do tempo é
.
(b) A aceleração da partícula em função do tempo é
.