Uma partícula se move de tal forma que sua posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por r=i+ 4 l^2 j+t k. Escreva expressões para (a) sua velocidade e (b) sua aceleração em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. A gente tem a posição de uma partícula dada por r = i + 4t^2 j + t k, onde t é o tempo em segundos. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente derivadas, para encontrar a velocidade e a aceleração da partícula em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se a posição é r(t), a velocidade v(t) é dada por:
v(t) = drdt
Vamos derivar cada componente de r:
  • A componente i é constante (1), então sua derivada é 0.
  • A componente j é 4t^2, e a derivada de 4t^2 em relação a t é 8t.
  • A componente k é t, e a derivada de t em relação a t é 1.
Então, juntando tudo:
v(t) = 0,i + 8t,j + 1,k v(t) = 8t,j + k

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, se a velocidade é v(t), a aceleração a(t) é dada por:
a(t) = dvdt
Vamos derivar cada componente de v:
  • A componente j é 8t, e a derivada de 8t em relação a t é 8.
  • A componente k é constante (1), então sua derivada é 0.
Então, juntando tudo:
a(t) = 8,j + 0,k a(t) = 8,j

Resposta

(a) A velocidade da partícula em função do tempo é v(t) = 8t,j + k.
(b) A aceleração da partícula em função do tempo é a(t) = 8,j.

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