Uma força dada por
atua sobre uma massa de
movendo-se sobre uma superfície sem atrito. A massa se move de
para
.
(a) Quanto trabalho a força realiza?
(a) Quanto trabalho a força realiza?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma força que depende da posição, dada por
, atuando sobre uma massa de
que se move de
para
numa superfície sem atrito. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto trabalho essa força realiza. Para isso, vamos usar conceitos de trabalho no contexto de forças variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho. Trabalho (
) é uma medida da energia transferida por uma força ao mover um objeto. Quando a força não é constante e depende da posição, como nesse caso, calculamos o trabalho fazendo a integral da força em relação ao deslocamento. Ou seja:
Onde:
-
é a força em função de . -
é a posição inicial. -
é a posição final.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores que a gente tem:
-
- Posição inicial,
- Posição final,
Mas precisamos cuidar das unidades aqui. A força está dada em
, o que significa que para obter a força em Newtons, multiplicamos por
. Então, a força efetiva em Newtons é:
Passo 4
Agora, vamos montar a integral para calcular o trabalho:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, vamos integrar a função
em relação a
:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos fazendo uma integral definida.
Passo 6
Agora, vamos aplicar os limites de integração, ou seja, avaliar a expressão entre
e
:
Passo 7
Vamos calcular cada termo separadamente:
Primeiro,
:
E
:
Agora, substituindo de volta:
Passo 8
Vamos calcular cada parte:
Agora, subtraindo:
Resposta
O trabalho realizado pela força é aproximadamente
.
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