Uma força dada por atua sobre uma massa de movendo-se sobre uma superfície sem atrito. A massa se move de para .
(a) Quanto trabalho a força realiza?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma força que depende da posição, dada por , atuando sobre uma massa de que se move de para numa superfície sem atrito. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto trabalho essa força realiza. Para isso, vamos usar conceitos de trabalho no contexto de forças variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho. Trabalho ( ) é uma medida da energia transferida por uma força ao mover um objeto. Quando a força não é constante e depende da posição, como nesse caso, calculamos o trabalho fazendo a integral da força em relação ao deslocamento. Ou seja:
Onde:
  • é a força em função de .
  • é a posição inicial.
  • é a posição final.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que a gente tem:
  • Posição inicial,
  • Posição final,
Mas precisamos cuidar das unidades aqui. A força está dada em , o que significa que para obter a força em Newtons, multiplicamos por . Então, a força efetiva em Newtons é:

Passo 4

Agora, vamos montar a integral para calcular o trabalho:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, vamos integrar a função em relação a :
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos fazendo uma integral definida.

Passo 6

Agora, vamos aplicar os limites de integração, ou seja, avaliar a expressão entre e :

Passo 7

Vamos calcular cada termo separadamente:
Primeiro, :
E :
Agora, substituindo de volta:

Passo 8

Vamos calcular cada parte:
Agora, subtraindo:

Resposta

O trabalho realizado pela força é aproximadamente .

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