Uma força dada por F(x)=5,00 x^3 widehati(N / m^3) atua sobre uma massa de 1,00 kg movendo-se sobre uma superfície sem atrito. A massa se move de x=2,00 m para x=6,00 m.
(a) Quanto trabalho a força realiza?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma força que depende da posição, dada por F(x) = 5,00 x^3 widehati(N / m^3), atuando sobre uma massa de 1,00 kg que se move de x=2,00 m para x=6,00 m numa superfície sem atrito. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto trabalho essa força realiza. Para isso, vamos usar conceitos de trabalho no contexto de forças variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho. Trabalho ( W) é uma medida da energia transferida por uma força ao mover um objeto. Quando a força não é constante e depende da posição, como nesse caso, calculamos o trabalho fazendo a integral da força em relação ao deslocamento. Ou seja:
W = integralxi^xf F(x) , dx
Onde:
  • F(x) é a força em função de x.
  • xi é a posição inicial.
  • xf é a posição final.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que a gente tem:
  • F(x) = 5,00 x^3 , N/m^3
  • Posição inicial, xi = 2,00 , m
  • Posição final, xf = 6,00 , m
Mas precisamos cuidar das unidades aqui. A força está dada em N/m^3, o que significa que para obter a força em Newtons, multiplicamos por x^3. Então, a força efetiva em Newtons é:
F(x) = 5,00 x^3 , N/m^3 times x^3 = 5,00 x^6 , N

Passo 4

Agora, vamos montar a integral para calcular o trabalho:
W = integral2,00 , m^6,00 , m 5,00 x^6 , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, vamos integrar a função 5,00 x^6 em relação a x:
integral 5,00 x^6 , dx = 5,00 times x^77 + C = 5,007 x^7 + C
Onde C é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos fazendo uma integral definida.

Passo 6

Agora, vamos aplicar os limites de integração, ou seja, avaliar a expressão entre x=2,00 , m e x=6,00 , m:
W = [ 5,007 x^7 ]2,00^6,00 = 5,007 (6,00)^7 - 5,007 (2,00)^7

Passo 7

Vamos calcular cada termo separadamente:
Primeiro, (6,00)^7:
6^7 = 279936
E (2,00)^7:
2^7 = 128
Agora, substituindo de volta:
W = 5,007 times 279936 - 5,007 times 128

Passo 8

Vamos calcular cada parte:
5,007 times 279936 = 13996807 approx 199954,29 , J
5,007 times 128 = 6407 approx 91,43 , J
Agora, subtraindo:
W approx 199954,29 , J - 91,43 , J = 199862,86 , J

Resposta

O trabalho realizado pela força é aproximadamente 1,998 times 10^5 , J.

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