A força exercida em uma ponte sobre um rio é para ser testada em um modelo de escala 1:10 usando água como fluido de trabalho. No protótipo a profundidade da água é 2 m , a velocidade de escoamento é de 1,5 m / s e o comprimento do rio é de 20 m . (a) Liste as variáveis que afetam a força na estrutura da ponte e determine os grupos adimensionais (não se esqueça da tensão superficial). Todas as condições de similaridade podem ser satisfeitas? (b) Determine o comprimento, a velocidade e a vazão no modelo. © Se a força hidrodinâmica no modelo é de 5 N , qual valor ela alcançará no protótipo?

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos um exercício sobre escalonamento de modelos físicos em mecânica dos fluidos. Queremos testar a força exercida em uma ponte usando um modelo em escala 1:10. Para resolver isso, vamos precisar entender fatores que influenciam a força na estrutura da ponte, trabalhar com grupos adimensionais e aplicar as leis da física para calcular escalas de comprimento, velocidade, vazão e força hidrodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as variáveis que afetam a força na estrutura da ponte. Essas variáveis incluem:
  • Profundidade da água ( h)
  • Velocidade do escoamento ( v)
  • Comprimento do rio ( L)
  • Densidade do fluido ( rho)
  • Viscosidade do fluido ( mu)
  • Tensão superficial ( sigma)
Essas são as principais variáveis que influenciam a força hidrodinâmica na estrutura da ponte.

Passo 3

Agora, vamos determinar os grupos adimensionais que combinam essas variáveis de forma que as unidades se cancelem, deixando uma expressão sem dimensões. Os grupos adimensionais mais comuns em problemas de mecânica dos fluidos são:
  1. Número de Reynolds ( Re):
    Re = rho v Lmu
    Esse número relaciona a força inercial à força viscosa.
  2. Número de Froude ( Fr):
    Fr = vraizg L
    Onde g é a aceleração da gravidade. Esse número compara a força inercial com a força gravitacional.
  3. Número de Weber ( We):
    We = rho v^2 Lsigma
    Esse número relaciona a força inercial à força de tensão superficial.
Esses três grupos adimensionais são essenciais para garantir que o modelo em escala seja fisicamente semelhante ao protótipo.

Passo 4

Vamos verificar se todas as condições de similaridade podem ser satisfeitas. Para que isso aconteça, devemos garantir que os números adimensionais no modelo e no protótipo sejam iguais.
No nosso caso, temos:
  • Escala de comprimento ( lambda) = 1:10
  • Igualdade de Re, Fr e We entre modelo e protótipo.
No entanto, a presença da tensão superficial ( We) pode complicar a similaridade, especialmente se a tensão superficial não for escalada adequadamente. Se não conseguirmos escalonar a tensão superficial de forma que os números de Weber sejam iguais, a similaridade total não será alcançada. Portanto, provavelmente, nem todas as condições de similaridade podem ser satisfeitas devido à complexidade de escalar a tensão superficial.

Passo 5

Para a parte (b), vamos determinar comprimento, velocidade e vazão no modelo.
Como a escala de comprimento é 1:10, temos:
Lm = Lplambda = 20,m10 = 2,m
A velocidade no modelo ( vm) pode ser relacionada ao protótipo através do número de Froude:
Frp = Frm implies vpraizg Lp = vmraizg Lm
Resolvendo para vm:
vm = vp raizLmLp = 1,5,m/s times raiz220 = 1,5,m/s times raiz0,1 approx 1,5,m/s times 0,316 = 0,474,m/s
A vazão ( Q) é dada por:
Q = L times v times h
No modelo:
Qm = Lm times vm times hm = 2,m times 0,474,m/s times 2,m approx 1,896,m^3/s

Resposta

(a) As variáveis que afetam a força na estrutura da ponte são profundidade da água ( h), velocidade do escoamento ( v), comprimento do rio ( L), densidade do fluido ( rho), viscosidade do fluido ( mu) e tensão superficial ( sigma). Os grupos adimensionais são os números de Reynolds ( Re), Froude ( Fr) e Weber ( We). Nem todas as condições de similaridade podem ser satisfeitas devido à dificuldade em escalonar a tensão superficial corretamente.
(b) No modelo, o comprimento é 2 m, a velocidade é aproximadamente 0,474 m/s e a vazão é cerca de 1,896 m³/s.
© A força hidrodinâmica no protótipo será 50,N.

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