Uma mangueira de jardim é conectada a uma torneira com pressão de 200 kPa e diâmetro interno de 1 cm . A mangueira tem um comprimento de 20 m e um diâmetro interno de 0,5 cm. Determine a velocidade da água na saída da mangueira.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de Mecânica dos Fluidos, especificamente envolvendo Pressão e Velocidade do Fluido. Vamos precisar usar a Equação de Bernoulli e a Equação de Continuidade para resolver essa questão. O enunciado fala sobre uma mangueira conectada a uma torneira com certas características, e a gente quer descobrir quão rápido a água sai da mangueira.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que a gente tem:
  • Pressão na torneira (P₁): 200 kPa
  • Diâmetro interno da torneira (d₁): 1 cm
  • Comprimento da mangueira: 20 m (essa informação não vai ser usada diretamente aqui)
  • Diâmetro interno da mangueira (d₂): 0,5 cm
Queremos encontrar a velocidade da água na saída da mangueira (v₂).

Passo 3

Vamos começar com a Equação de Continuidade, que nos diz que a quantidade de água que entra na torneira deve ser igual à quantidade que sai pela mangueira. A equação é:
A1 times v1 = A2 times v2
Onde:
  • A2 times v2 = A1 times v1 approx 0 Rightarrow v2 approx A1A2 times 0 = 0 é a área da seção transversal
  • é a velocidade do fluido
Como a velocidade inicial na torneira ( ) é muito pequena, podemos assumir que . Assim, a equação simplifica para:
Mas isso não faz sentido porque sabemos que a água está saindo da mangueira. Então, precisamos usar a Equação de Bernoulli para relacionar a pressão e a velocidade.

Passo 4

A Equação de Bernoulli para dois pontos ao longo de um fluxo de fluido pode ser escrita assim:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Onde:
  • P1 = P2 + 12 rho v2^2 é a pressão
  • é a densidade do fluido (para a água, )
  • é a velocidade do fluido
  • é a aceleração da gravidade ( )
  • é a altura
Vamos assumir que a altura não muda ( ) e que a velocidade na torneira é quase zero ( ). Assim, a equação simplifica para:
Se a saída da mangueira está aberta ao ar, a pressão na saída ( ) é atmosférica, mas vamos considerar que para simplificar.

Passo 5

Agora, vamos resolver para P1 = 12 rho v2^2 Rightarrow v2 = raiz2 P1rho :
200 , kPa = 200 times 10^3 , Pa
Antes de calcular, precisamos converter a pressão de kPa para Pa, pois as unidades devem estar no Sistema Internacional:

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
v2 = raiz2 times 200 times 10^3 , Pa1000 , kg/m^3 = raiz400 times 10^31000 = raiz400 = 20 , m/s

Resposta

A velocidade da água na saída da mangueira é de 20 metros por segundo.

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