Uma mangueira de jardim é conectada a uma torneira com pressão de 200 kPa e diâmetro interno de 1 cm . A mangueira tem um comprimento de 20 m e um diâmetro interno de
. Determine a velocidade da água na saída da mangueira.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de Mecânica dos Fluidos, especificamente envolvendo Pressão e Velocidade do Fluido. Vamos precisar usar a Equação de Bernoulli e a Equação de Continuidade para resolver essa questão. O enunciado fala sobre uma mangueira conectada a uma torneira com certas características, e a gente quer descobrir quão rápido a água sai da mangueira.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as informações que a gente tem:
- Pressão na torneira (P₁): 200 kPa
- Diâmetro interno da torneira (d₁): 1 cm
- Comprimento da mangueira: 20 m (essa informação não vai ser usada diretamente aqui)
- Diâmetro interno da mangueira (d₂): 0,5 cm
Queremos encontrar a velocidade da água na saída da mangueira (v₂).
Passo 3
Vamos começar com a Equação de Continuidade, que nos diz que a quantidade de água que entra na torneira deve ser igual à quantidade que sai pela mangueira. A equação é:
Onde:
-
é a área da seção transversal -
é a velocidade do fluido
Como a velocidade inicial na torneira (
) é muito pequena, podemos assumir que
. Assim, a equação simplifica para:
Mas isso não faz sentido porque sabemos que a água está saindo da mangueira. Então, precisamos usar a Equação de Bernoulli para relacionar a pressão e a velocidade.
Passo 4
A Equação de Bernoulli para dois pontos ao longo de um fluxo de fluido pode ser escrita assim:
Onde:
-
é a pressão -
é a densidade do fluido (para a água, ) -
é a velocidade do fluido -
é a aceleração da gravidade ( ) -
é a altura
Vamos assumir que a altura não muda (
) e que a velocidade na torneira é quase zero (
). Assim, a equação simplifica para:
Se a saída da mangueira está aberta ao ar, a pressão na saída (
) é atmosférica, mas vamos considerar que
para simplificar.
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Antes de calcular, precisamos converter a pressão de kPa para Pa, pois as unidades devem estar no Sistema Internacional:
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Resposta
A velocidade da água na saída da mangueira é de 20 metros por segundo.