A força depende da posição de uma partícula (i.e., é uma função de ). O módulo de é inversamente proporcional à distância entre seu ponto de aplicação e o plano XY. Se esta força sempre está direcionada à origem de coordenadas, utilize integrais de linha para calcular o trabalho feito por para mover uma partícula ao longo da reta
desde o ponto até o ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nesse exercício, a gente precisa calcular o trabalho feito por uma força que depende da posição de uma partícula no espaço. A força sempre aponta para a origem e o seu módulo é inversamente proporcional à distância entre o ponto onde ela atua e o plano XY. Para resolver isso, vamos usar o conceito de trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho, que envolve integrais de linha. Vamos precisar entender vetores, campos de força, distância de pontos a planos e cálculo de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é a força . Sabemos que ela está sempre direcionada para a origem, então podemos escrever:
Aqui, r é o vetor posição da partícula, e é a distância da partícula ao plano XY. O sinal negativo indica que a força aponta para a origem.
Passo 3
Vamos calcular a distância de um ponto ao plano XY. A fórmula para a distância de um ponto ao plano XY (que é definido por z = 0) é simplesmente o valor absoluto de z. Portanto:
Como estamos trabalhando com módulos, podemos considerar (ou e adaptar o sinal, mas para simplificar, assumimos ). Então:
Passo 4
Agora, substituímos a distância na expressão da força:
Aqui, simplificamos o vetor dividindo cada componente de r por z.
Passo 5
Vamos parametrizar a reta pela qual a partícula se move, de A para B. A reta dada é:
Podemos parametrizar usando um parâmetro t:
Onde t varia de 1 para 2, já que no ponto A, t = 1 (pois , y = 1, z = 1) e no ponto B, t = 2.
Passo 6
Com a parametrização, temos e a derivada em relação a t é:
Essa derivada representa o vetor tangente ao caminho.
Passo 7
Agora, expressamos a força em termos de t usando a parametrização:
Interessante! A força se torna constante ao longo do caminho.
Passo 8
O trabalho realizado pela força ao longo do caminho é dado por:
Com a parametrização, fica:
Substituindo os valores que já encontramos:
Passo 9
Calculamos o produto escalar dentro da integral:
Então, a integral fica:
Resposta
O trabalho realizado pela força F = vetor(F) ao mover a partícula de A para B ao longo da reta é .