A força F = R^3 depende da posição r em R^3 de uma partícula (i.e., F = vetor(F) é uma função de r ). O módulo de F = vetor(F) é inversamente proporcional à distância entre seu ponto de aplicação e o plano XY. Se esta força sempre está direcionada à origem de coordenadas, utilize integrais de linha para calcular o trabalho feito por F = vetor(F) para mover uma partícula ao longo da reta
L: x/(raiz(2)) = y = z
desde o ponto A = (raiz(2), 1, 1) até o ponto B = (2 raiz(2), 2, 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nesse exercício, a gente precisa calcular o trabalho feito por uma força que depende da posição de uma partícula no espaço. A força sempre aponta para a origem e o seu módulo é inversamente proporcional à distância entre o ponto onde ela atua e o plano XY. Para resolver isso, vamos usar o conceito de trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho, que envolve integrais de linha. Vamos precisar entender vetores, campos de força, distância de pontos a planos e cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a força F = vetor(F). Sabemos que ela está sempre direcionada para a origem, então podemos escrever:
Aqui, r é o vetor posição da partícula, e é a distância da partícula ao plano XY. O sinal negativo indica que a força aponta para a origem.

Passo 3

Vamos calcular a distância de um ponto ao plano XY. A fórmula para a distância de um ponto ao plano XY (que é definido por z = 0) é simplesmente o valor absoluto de z. Portanto:
Como estamos trabalhando com módulos, podemos considerar (ou e adaptar o sinal, mas para simplificar, assumimos ). Então:

Passo 4

Agora, substituímos a distância na expressão da força:
Aqui, simplificamos o vetor dividindo cada componente de r por z.

Passo 5

Vamos parametrizar a reta pela qual a partícula se move, de A para B. A reta dada é:
Podemos parametrizar usando um parâmetro t:
Onde t varia de 1 para 2, já que no ponto A, t = 1 (pois , y = 1, z = 1) e no ponto B, t = 2.

Passo 6

Com a parametrização, temos e a derivada em relação a t é:
Essa derivada representa o vetor tangente ao caminho.

Passo 7

Agora, expressamos a força em termos de t usando a parametrização:
Interessante! A força se torna constante ao longo do caminho.

Passo 8

O trabalho realizado pela força ao longo do caminho é dado por:
Com a parametrização, fica:
Substituindo os valores que já encontramos:

Passo 9

Calculamos o produto escalar dentro da integral:
Então, a integral fica:

Resposta

O trabalho realizado pela força F = vetor(F) ao mover a partícula de A para B ao longo da reta é .

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