Seja
a função posição de uma partícula de massa
sujeita a um campo de forças
, onde
é um conjunto aberto e a imagem de
está incluída em
. Pela Segunda lei de Newton, sabemos que
Se
é a curva representada pela função
, justifique os seguintes fatos: A variação da energia cinética entre
e
é igual à integral de linha de
ao longo da curva
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos uma partícula com massa
se movendo no espaço sob a ação de uma força
. A posição da partícula em cada instante
é dada por
. A questão quer que a gente demonstre que a variação da energia cinética da partícula entre os tempos
e
é igual à integral de linha da força
ao longo da trajetória
percorrida pela partícula. Para resolver isso, vamos precisar usar a Segunda Lei de Newton e conceitos de cálculo, como integrais e derivadas.
Passo 2
Vamos começar lembrando a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante sobre uma partícula é igual ao produto da massa dela pela aceleração:
Aqui,
é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, a aceleração.
Passo 3
A energia cinética
de uma partícula é dada por:
onde
é a velocidade da partícula. A variação da energia cinética entre
e
será:
Passo 4
Agora, vamos analisar a integral de linha da força
ao longo da curva
. A integral de linha é dada por:
Substituindo
pela expressão da Segunda Lei de Newton:
Como
, podemos reescrever a integral como:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que:
E isso é igual à derivada em relação ao tempo de:
Portanto, a integral se torna:
Passo 6
Integrando essa expressão, obtemos:
Isso é exatamente a variação da energia cinética
:
Resposta
Assim, demonstramos que a variação da energia cinética entre
e
é igual à integral de linha da força
ao longo da trajetória
:
Exercícios relacionados
Encontre
se for possível em cada caso a seguir:
;
Se
, utilize a regra da cadeia para verificar que u satisfaz a seguinte relação
A força
depende da posição
de uma partícula (i.e.,
é uma função de
). O módulo de
é inversamente proporcional à distância entre seu ponto de aplicação e o plano XY. Se esta força sempre está direcionada à origem de coordenadas, utilize integrais de linha para calcular o trabalho feito por
para mover uma partícula ao longo da reta
desde o ponto
até o ponto
.
Determine se a sequência é convergente ou divergente, em caso de convergência calcule seu limite.