Determine se a sequência é convergente ou divergente, em caso de convergência calcule seu limite. a_j = 3^(j+2) / 5^(j)

Passo 1

Vamos analisar a sequência para determinar se ela é convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de progressões geométricas e limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Podemos reescrever como , ou seja:
Isso mostra que a sequência é uma progressão geométrica com razão .

Passo 3

Sabemos que, para uma progressão geométrica , a sequência converge se o valor absoluto da razão for menor que 1. Neste caso, , que é menor que 1. Portanto, a sequência é convergente.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da sequência. O limite de uma progressão geométrica quando tende ao infinito é dado por:
Como , .

Passo 5

Aplicando isso à nossa sequência:
Portanto, o limite da sequência é 0.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

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A força F = R^3 depende da posição r em R^3 de uma partícula (i.e., F = vetor(F) é uma função de r ). O módulo de F = vetor(F) é inversamente proporcional à distância entre seu ponto de aplicação e o plano XY. Se esta força sempre está direcionada à origem de coordenadas, utilize integrais de linha para calcular o trabalho feito por F = vetor(F) para mover uma partícula ao longo da reta
L: x/(raiz(2)) = y = z
desde o ponto A = (raiz(2), 1, 1) até o ponto B = (2 raiz(2), 2, 2).
Seja r: [t1, t2] -> R^3 a função posição de uma partícula de massa m sujeita a um campo de forças F: Dom(F) subset R^3 -> R^3, onde Dom(F) é um conjunto aberto e a imagem de r está incluída em Dom(F). Pela Segunda lei de Newton, sabemos que
F(r(t)) = m * d^2r(t)/dt^2
Se C é a curva representada pela função r, justifique os seguintes fatos: A variação da energia cinética entre t1 e t2 é igual à integral de linha de F = vetor(F) ao longo da curva C.
Dada uma série convergente sum a n, com soma S e reduzida S n, prove que seu resto R n é a soma da série a partir do índice n+1. (A diferença R n=S-S n é chamada o resto de ordem n da série).
Verifique, dentre as séries seguintes, qual delas converge, qual delas diverge:
e) sumn=1^infty(n^2-23 n+94 n^3 raizn+7-2 n+cos ^3(n^2))