Dada uma série convergente
, com soma
e reduzida
, prove que seu resto
é a soma da série a partir do índice
. (A diferença
é chamada o resto de ordem
da série).
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita convergente
com soma total
e soma parcial até o
-ésimo termo
. A diferença entre essas duas, chamada de resto
, é dada por
. O objetivo aqui é provar que esse resto
é, na verdade, a soma da série a partir do índice
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de séries infinitas e somas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma soma parcial. A soma parcial
de uma série
é a soma dos primeiros
termos da série. Matemáticamente, podemos escrever:
Passo 3
Sabemos que a série é convergente, o que significa que a soma infinita dos seus termos tende a um valor finito, que chamamos de soma total
. Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos expressar o resto
usando a definição dada:
Substituindo
e
nas equações acima, temos:
Passo 5
Ao subtrair
de
, os termos
até
se cancelam, restando:
Resposta
Portanto, o resto de ordem
,
, é igual à soma da série a partir do índice
:
Exercícios relacionados
Determine se a sequência é convergente ou divergente, em caso de convergência calcule seu limite.
A força
depende da posição
de uma partícula (i.e.,
é uma função de
). O módulo de
é inversamente proporcional à distância entre seu ponto de aplicação e o plano XY. Se esta força sempre está direcionada à origem de coordenadas, utilize integrais de linha para calcular o trabalho feito por
para mover uma partícula ao longo da reta
desde o ponto
até o ponto
.
Verifique, dentre as séries seguintes, qual delas converge, qual delas diverge:
e)
e)
Verifique, em cada uma das letras seguintes, se a série dada é convergente; e, em sendo, se absoluta ou condicionalmente.
a)
a)