A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa à uma distância
do centro do planeta Terra é dada por
onde
é a massa da Terra,
é seu raio e
é a constante gravitacional (
).
(a) Qual é o domínio de
? Podemos dizer que
é uma função contínua de
?
(b) Calcule
e interprete seu significado físico.
(a) Qual é o domínio de
(b) Calcule
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função que representa a força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa, dependendo da distância
do centro da Terra. A função
está definida de duas maneiras diferentes, dependendo se
é menor ou maior que o raio da Terra
.
Os conteúdos envolvidos aqui são:
- Força Gravitacional: Relaciona-se com a interação entre massas devido à gravidade.
- Domínio de uma função: Conjunto de todos os valores possíveis de
para os quais a função está definida. - Continuidade de uma função: Verifica se a função não tem “saltos” ou “interrupções” no seu gráfico.
- Limite de uma função: Analisa o comportamento da função quando
tende a um valor específico, no caso, o infinito.
Vamos precisar entender como a função
está definida e aplicar conceitos de cálculo e análise de funções para responder às perguntas.
Passo 2
Parte (a): Qual é o domínio de
? Podemos dizer que
é uma função contínua de
?
Primeiro, vamos identificar o domínio de
, ou seja, todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função está definida por duas expressões:
- Para
: - Para
:
Aqui,
representa a distância do centro da Terra, então então
deve ser positivo (
). Além disso, não há outras restrições, pois as expressões são válidas para todos os
.
Portanto, o domínio de
é
.
Agora, vamos verificar se
é uma função contínua em todo o domínio.
A continuidade de uma função significa que não há interrupções ou saltos no seu gráfico. Para
, precisamos verificar a continuidade no ponto onde a definição muda, ou seja, em
.
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
pela esquerda e pela direita:
- Quando
se aproxima de pela esquerda ( ): - Quando
se aproxima de pela direita ( ):
Ambos os limites são iguais e coincidem com o valor de
.
Portanto,
é uma função contínua para todos os
.
Passo 3
Parte (b): Calcule
e interprete seu significado físico.
Queremos calcular o limite da força gravitacional
quando a distância
tende ao infinito.
Para
, a função
é dada por:
Vamos calcular o limite:
À medida que
se aproxima do infinito,
também tende ao infinito, e portanto,
tende a zero:
Interpretação Física:
Isso significa que, à medida que nos afastamos cada vez mais da Terra (ou de qualquer outro corpo com massa
), a força gravitacional exercida sobre uma unidade de massa tende a zero. Em outras palavras, a influência gravitacional da Terra se torna insignificante à distância infinita.
Resposta
(a) O domínio de
é
. Sim,
é uma função contínua em todo o seu domínio.
(b)
. Isso significa que a força gravitacional da Terra sobre uma unidade de massa se torna insignificante à medida que a distância
tende ao infinito.
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Explique porque expressões do tipo
Explique o significado dos seguintes limites:
e
.
Utilize a redução de arcos ao
quadrante para calcular o valor de
na expressão
Dê o domínio das seguintes funções:
(a)
(b)
©
(d) .
(a)
(b)
©
(d)