A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa à uma distância do centro do planeta Terra é dada por
onde é a massa da Terra, é seu raio e é a constante gravitacional ( ).
(a) Qual é o domínio de ? Podemos dizer que é uma função contínua de ?
(b) Calcule e interprete seu significado físico.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função que representa a força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa, dependendo da distância do centro da Terra. A função está definida de duas maneiras diferentes, dependendo se é menor ou maior que o raio da Terra .
Os conteúdos envolvidos aqui são:
  • Força Gravitacional: Relaciona-se com a interação entre massas devido à gravidade.
  • Domínio de uma função: Conjunto de todos os valores possíveis de para os quais a função está definida.
  • Continuidade de uma função: Verifica se a função não tem “saltos” ou “interrupções” no seu gráfico.
  • Limite de uma função: Analisa o comportamento da função quando tende a um valor específico, no caso, o infinito.
Vamos precisar entender como a função está definida e aplicar conceitos de cálculo e análise de funções para responder às perguntas.

Passo 2

Parte (a): Qual é o domínio de ? Podemos dizer que é uma função contínua de ?
Primeiro, vamos identificar o domínio de , ou seja, todos os valores de para os quais a função está definida.
A função está definida por duas expressões:
  1. Para :
  2. Para :
Aqui, representa a distância do centro da Terra, então então deve ser positivo ( ). Além disso, não há outras restrições, pois as expressões são válidas para todos os .
Portanto, o domínio de é .
Agora, vamos verificar se é uma função contínua em todo o domínio.
A continuidade de uma função significa que não há interrupções ou saltos no seu gráfico. Para , precisamos verificar a continuidade no ponto onde a definição muda, ou seja, em .
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de pela esquerda e pela direita:
  • Quando se aproxima de pela esquerda ( ):
  • Quando se aproxima de pela direita ( ):
Ambos os limites são iguais e coincidem com o valor de .
Portanto, é uma função contínua para todos os .

Passo 3

Parte (b): Calcule e interprete seu significado físico.
Queremos calcular o limite da força gravitacional quando a distância tende ao infinito.
Para , a função é dada por:
Vamos calcular o limite:
À medida que se aproxima do infinito, também tende ao infinito, e portanto, tende a zero:
Interpretação Física:
Isso significa que, à medida que nos afastamos cada vez mais da Terra (ou de qualquer outro corpo com massa ), a força gravitacional exercida sobre uma unidade de massa tende a zero. Em outras palavras, a influência gravitacional da Terra se torna insignificante à distância infinita.

Resposta

(a) O domínio de é . Sim, é uma função contínua em todo o seu domínio.
(b) . Isso significa que a força gravitacional da Terra sobre uma unidade de massa se torna insignificante à medida que a distância tende ao infinito.

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(a)
(b)
©
(d) .