A força de interação elétrica entre o próton e um elétron num átomo de hidrogênio vale aproximadamente
. Supondo que o elétron gire em torno do próton em uma órbita circular, calcule:
o raio do átomo de hidrogênio;
o raio do átomo de hidrogênio;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre a força elétrica que atua entre o próton e o elétron em um átomo de hidrogênio, que é de aproximadamente
. Nosso objetivo aqui é calcular o raio desse átomo, ou seja, a distância entre o próton e o elétron quando o elétron está orbitando o próton em uma trajetória circular. Para isso, vamos usar conceitos de força elétrica e força centrípeta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças envolvidas. A força elétrica (
) que mantém o elétron preso ao próton é dada pela Lei de Coulomb:
onde:
-
é a constante eletrostática ( ), -
é a carga do elétron ( ), -
é o raio que queremos encontrar.
Além disso, como o elétron está se movendo em uma órbita circular, ele também está sujeito à força centrípeta (
):
onde:
-
é a massa do elétron ( ), -
é a velocidade do elétron.
Passo 3
Para manter o elétron em órbita circular, a força centrípeta precisa ser igual à força elétrica que o atrai para o próton. Assim, podemos igualar as duas expressões:
Simplificando os termos, multiplicamos ambos os lados por
para facilitar:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma relação entre a velocidade
do elétron e o raio
. Para isso, usamos a condição de quantização do momento angular na teoria de Bohr, que nos diz que:
onde
é a constante de Planck reduzida (
).
A partir dessa equação, podemos isolar
:
Passo 5
Substituímos a expressão de
na equação que iguala as forças:
Simplificando:
Agora, isolamos
:
E, finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Passo 6
Vamos agora calcular o valor numérico usando os valores das constantes:
Fazendo as contas:
Resposta
O raio do átomo de hidrogênio é aproximadamente
.