A força de interação elétrica entre o próton e um elétron num átomo de hidrogênio vale aproximadamente 8,2 times 10^-8 N. Supondo que o elétron gire em torno do próton em uma órbita circular, calcule:
o raio do átomo de hidrogênio;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre a força elétrica que atua entre o próton e o elétron em um átomo de hidrogênio, que é de aproximadamente 8,2 times 10^-8 , N. Nosso objetivo aqui é calcular o raio desse átomo, ou seja, a distância entre o próton e o elétron quando o elétron está orbitando o próton em uma trajetória circular. Para isso, vamos usar conceitos de força elétrica e força centrípeta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças envolvidas. A força elétrica ( Fe) que mantém o elétron preso ao próton é dada pela Lei de Coulomb:
Fe = k cdot e^2r^2
onde:
  • k é a constante eletrostática ( 8,988 times 10^9 , N cdot m^2/C^2),
  • e é a carga do elétron ( 1,602 times 10^-19 , C),
  • r é o raio que queremos encontrar.
Além disso, como o elétron está se movendo em uma órbita circular, ele também está sujeito à força centrípeta ( Fc):
Fc = me cdot v^2r
onde:
  • me é a massa do elétron ( 9,109 times 10^-31 , kg),
  • v é a velocidade do elétron.

Passo 3

Para manter o elétron em órbita circular, a força centrípeta precisa ser igual à força elétrica que o atrai para o próton. Assim, podemos igualar as duas expressões:
k cdot e^2r^2 = me cdot v^2r
Simplificando os termos, multiplicamos ambos os lados por r^2 para facilitar:
k cdot e^2 = me cdot v^2 cdot r

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma relação entre a velocidade v do elétron e o raio r. Para isso, usamos a condição de quantização do momento angular na teoria de Bohr, que nos diz que:
me cdot v cdot r = hbar
onde hbar é a constante de Planck reduzida ( 1,055 times 10^-34 , J cdot s).
A partir dessa equação, podemos isolar v:
v = hbarme cdot r

Passo 5

Substituímos a expressão de v na equação que iguala as forças:
k cdot e^2 = me cdot (hbarme cdot r)^2 cdot r
Simplificando:
k cdot e^2 = hbar^2me cdot r^2
Agora, isolamos r^2:
r^2 = hbar^2k cdot e^2 cdot me
E, finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar r:
r = raizhbar^2k cdot e^2 cdot me

Passo 6

Vamos agora calcular o valor numérico usando os valores das constantes:
r = raiz(1,055 times 10^-34)^28,988 times 10^9 cdot (1,602 times 10^-19)^2 cdot 9,109 times 10^-31
Fazendo as contas:
r approx 5,29 times 10^-11 , m

Resposta

O raio do átomo de hidrogênio é aproximadamente 5,29 times 10^-11 , metros.

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