A força de interação elétrica entre o próton e um elétron num átomo de hidrogênio vale aproximadamente 8,2 times 10^-8 N. Supondo que o elétron gire em torno do próton em uma órbita circular, calcule:
a frequência e o período de translação do elétron.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um elétron girando ao redor de um próton num átomo de hidrogênio, e a força de interação elétrica entre eles é de aproximadamente 8,2 times 10^-8 , N. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas: a frequência e o período de translação desse elétron. Para isso, vamos usar conceitos de movimento circular e força centrípeta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando o elétron gira em uma órbita circular ao redor do próton, há uma força que mantém ele nessa trajetória. Essa força é chamada de força centrípeta e é dada pela fórmula:
F = m v^2r
Onde:
  • $ F $ é a força centrípeta,
  • $ m $ é a massa do elétron,
  • $ v $ é a velocidade do elétron,
  • $ r $ é o raio da órbita.

Passo 3

Sabemos que a força de interação elétrica entre o próton e o elétron é 8,2 times 10^-8 , N. Essa força elétrica é exatamente a força centrípeta que mantém o elétron na órbita circular. Então, podemos igualar as duas forças:
F = m v^2r = 8,2 times 10^-8 , N

Passo 4

Precisamos encontrar a velocidade $ v $ do elétron. Contudo, como queremos a frequência ($ f v í T $), vamos expressar $ v $ em termos de $ f $. Sabemos que a velocidade em movimento circular é dada por:
f
Onde $ \pi $ é aproximadamente 3,1416.

Passo 5

Substituindo $ v $ na equação da força centrípeta:
v
Simplificando a equação:
m (2 pi r f)^2r = 8,2 times 10^-8
m cdot 4 pi^2 r^2 f^2r = 8,2 times 10^-8

Passo 6

Vamos isolar $ f^2 $:
f^2
Para continuar, precisamos dos valores da massa do elétron ($ m f^2 = 8,2 times 10^-84 pi^2 m r ó r $). Na verdade, para o hidrogênio, o raio de Bohr $ r $ é aproximadamente m e a massa do elétron $ m $ é r .

Passo 7

Substituindo os valores:
f^2 = 8,2 times 10^-84 pi^2 times 9,11 times 10^-31 times 5,29 times 10^-11
Calculando o denominador:
4 pi^2 times 9,11 times 10^-31 times 5,29 times 10^-11 approx 1,91 times 10^-40
Então:
f^2 = 8,2 times 10^-81,91 times 10^-40 approx 4,29 times 10^32

Passo 8

Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ f $:
f

Passo 9

O período ($ T $) é o inverso da frequência:
T

Resposta

A frequência de translação do elétron é aproximadamente 6,55 times 10^16 , Hz e o período é cerca de 1,53 times 10^-17 , s.

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