A força de interação elétrica entre o próton e um elétron num átomo de hidrogênio vale aproximadamente
. Supondo que o elétron gire em torno do próton em uma órbita circular, calcule:
a frequência e o período de translação do elétron.
a frequência e o período de translação do elétron.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um elétron girando ao redor de um próton num átomo de hidrogênio, e a força de interação elétrica entre eles é de aproximadamente
. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas: a frequência e o período de translação desse elétron. Para isso, vamos usar conceitos de movimento circular e força centrípeta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando o elétron gira em uma órbita circular ao redor do próton, há uma força que mantém ele nessa trajetória. Essa força é chamada de força centrípeta e é dada pela fórmula:
Onde:
- $ F $ é a força centrípeta,
- $ m $ é a massa do elétron,
- $ v $ é a velocidade do elétron,
- $ r $ é o raio da órbita.
Passo 3
Sabemos que a força de interação elétrica entre o próton e o elétron é
. Essa força elétrica é exatamente a força centrípeta que mantém o elétron na órbita circular. Então, podemos igualar as duas forças:
Passo 4
Precisamos encontrar a velocidade $ v $ do elétron. Contudo, como queremos a frequência ($ f
T $), vamos expressar $ v $ em termos de $ f $. Sabemos que a velocidade em movimento circular é dada por:
Onde $ \pi $ é aproximadamente 3,1416.
Passo 5
Substituindo $ v $ na equação da força centrípeta:
Simplificando a equação:
Passo 6
Vamos isolar $ f^2 $:
Para continuar, precisamos dos valores da massa do elétron ($ m
r $). Na verdade, para o hidrogênio, o raio de Bohr $ r $ é aproximadamente
e a massa do elétron $ m $ é
.
Passo 7
Substituindo os valores:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 8
Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ f $:
Passo 9
O período ($ T $) é o inverso da frequência:
Resposta
A frequência de translação do elétron é aproximadamente
e o período é cerca de
.