A força de rompimento de uma fibra têxtil é uma variável aleatória distribuída normalmente. As especificações exigem que a força média de rompimento seja igual a 150 psi. O fabricante gostaria de detectar qualquer afastamento significante desse valor. Uma amostra de 15 espécimes de fibra forneceu força média de rompimento 152,18 psi e variância 16,63 . O que se pode concluir, ao nível de de significância?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos uma situação onde a força de rompimento de uma fibra têxtil segue uma distribuição normal. A especificação do fabricante diz que a força média deve ser 150 psi (libras por polegada quadrada). Eles querem saber se, com base numa amostra de 15 fibras, a média observada de 152,18 psi é significativamente diferente do valor especificado de 150 psi, usando um nível de significância de 5%. Para resolver isso, vamos precisar usar o teste t para uma amostra, que nos ajuda a comparar a média da amostra com a média populacional quando o desvio padrão da população é desconhecido.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses para o teste:
  • Hipótese nula (H₀): A força média de rompimento é igual a 150 psi. (μ = 150)
  • Hipótese alternativa (H₁): A força média de rompimento é diferente de 150 psi. (μ ≠ 150)
Como queremos verificar se há qualquer desvio significativo, usamos um teste bicaudal.

Passo 3

Agora, vamos calcular a estatística de teste t. A fórmula para o teste t é:
Onde:
  • é a média da amostra (152,18 psi)
  • é a média hipotética (150 psi)
  • é o desvio padrão da amostra
  • é o tamanho da amostra (15)
Primeiro, precisamos encontrar o desvio padrão da amostra. Sabemos que a variância da amostra é 16,63 psi², então:

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula do t:
Calculando o denominador:
Agora, calculando t:

Passo 5

Agora precisamos encontrar o valor crítico t para um teste bicaudal com nível de significância de 5% e graus de liberdade . Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico t é aproximadamente ±2,145.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de t (≈2,068) com o valor crítico (±2,145):
  • Se , rejeitamos a hipótese nula.
  • Se , não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso:

Resposta

Como o valor calculado de t (≈2,068) é menor que o valor crítico de 2,145, não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, não há evidências suficientes para concluir que a força média de rompimento difere significativamente de 150 psi ao nível de 5% de significância.

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