Uma força vertical P é aplicada no centro da extremidade livre da viga em balanço A B. Se a viga é instalada com a alma formando um ângulo beta com a vertical igual a 15^circ e o seu eixo longitudinal AB na horizontal, determine o valor da força P cuja tensão normal no ponto a é 150 MPa. (Dados do perfil W 250 times 44.8 : área da seção transversal =5700 mm^2 ; d=267 mm ; tw=7,62 mm ; df=148 mm ; tf=13 mm ; IX=70,8 cdot 10^6 mm^4 ; IY=6,95 cdot 10^6 mm^4) (2,5 pontos)
Perfil W 250 times 44.8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma viga em balanço que está instalada na horizontal, e uma força vertical está sendo aplicada na extremidade livre. A alma da viga está inclinada em relação à vertical. A gente precisa descobrir qual valor de faz com que a tensão normal no ponto seja de MPa. Vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, mais especificamente de flexão de vigas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a força M = P times L afeta a viga. Como a viga está em balanço, toda a força vai gerar um momento fletor no ponto . O momento fletor é uma força que causa a flexão da viga e é calculado pela fórmula:
Onde:
  • é o momento fletor
  • é a força aplicada
  • é o comprimento da viga até o ponto onde é aplicada

Passo 3

Agora, sabemos que a tensão normal ( sigma = M cdot cI ) em uma viga sujeita a flexão é dada por:
Onde:
  • é a tensão normal
  • é o momento fletor
  • é a distância do eixo neutro até a fibra mais distante (no nosso caso, é metade da dimensão vertical da seção, que podemos assumir como )
  • é o momento de inércia da seção transversal da viga

Passo 4

Vamos reorganizar essa equação para encontrar sigma = P times L times cI . Primeiro, substituímos P = sigma times IL times c por :
Agora, isolamos :

Passo 5

Precisamos agora identificar os valores que já temos:
  • MPa Pa
  • (vamos usar porque a flexão ocorre no eixo )
  • mm mm
  • O comprimento da viga não foi dado diretamente, mas vamos assumir que seja a distância até o ponto de aplicação da força . Como a viga é do perfil W , vamos considerar as propriedades fornecidas.

Passo 6

Antes de prosseguir, precisamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI). Vamos converter Ix = 70,8 times 10^6 , mm^4 = 70,8 times 10^-6 , m^4 e c = 133,5 , mm = 0,1335 , m para metros:

Passo 7

Substituindo os valores na equação de P = 150 times 10^6 , Pa times 70,8 times 10^-6 , m^4L times 0,1335 , m :
Agora, precisamos saber o valor de . Se assumirmos que é o comprimento da viga até a aplicação de , e considerando que a viga é do perfil W com mm, é provável que mm m.

Passo 8

Substituindo P = 150 times 10^6 times 70,8 times 10^-60,267 times 0,1335 m:
150 times 10^6 times 70,8 times 10^-6 = 10,62 times 10^3
Calculando o numerador:
0,267 times 0,1335 = 0,0356
Calculando o denominador:
P = 10,6200,0356 approx 298,6 times 10^3 , N
Então:

Resposta

A força necessária para que a tensão normal no ponto seja de MPa é aproximadamente N, ou seja, kN.

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