A forma de um espelho elíptico é descrita pela curva
, com semieixo maior a e semieixo menor b. O foco dessa elipse são os pontos (c,0)
, com
. Mostre que qualquer raio de luz no plano
, que passa através de um dos focos, irá se refletir passando pelo outro. Galerias de murmúrios fazem uso desse fenômeno com ondas sonoras.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um espelho com formato de elipse, que é descrita pela equação
. Aqui,
é o semieixo maior e
o semieixo menor. Os focos dessa elipse são os pontos
e
, onde
. O que precisamos mostrar é que qualquer raio de luz que passa por um dos focos vai, após refletir no espelho elíptico, passar pelo outro foco. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as propriedades das elipses e como a reflexão funciona nesse formato.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar uma propriedade fundamental das elipses: a soma das distâncias de qualquer ponto na elipse aos dois focos é constante e igual a
. Isso significa que, para qualquer ponto
na elipse, a distância de
até
mais a distância de
até
é sempre
.
Matematicamente, isso é:
Passo 3
Agora, vamos pensar em um raio de luz que parte de um dos focos, digamos
, e atinge um ponto qualquer
na elipse. Esse raio chega ao ponto
vindo do foco
.
Depois de refletir no ponto
, queremos mostrar que ele passa pelo outro foco
.
Passo 4
Para entender isso, precisamos considerar a lei da reflexão, que diz que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. No contexto da elipse, isso implica que a trajetória do raio de luz que vem de um foco, reflete na superfície da elipse e vai para o outro foco, segue essa lei.
Vamos analisar geometricamente: a propriedade da elipse que mencionamos (
) garante que o caminho seguido pelo raio refletido será tal que ele “encaixa” perfeitamente para passar pelo segundo foco.
Passo 5
Mais tecnicamente, ao refletir, o raio de luz altera sua direção de forma que a soma das distâncias dos focos permanece constante. Isso faz com que, após a reflexão, o raio que partia de
e passou por
seja direcionado exatamente para
.
Essa propriedade é explorada em lugares como as galerias de murmúrios, onde sons emitidos em um ponto (próximo a um foco) são claramente ouvidos em outro ponto devido a essa característica da elipse.
Resposta
Portanto, demonstramos que qualquer raio de luz que passa por um dos focos de um espelho elíptico será refletido de modo a passar pelo outro foco, graças às propriedades geométricas da elipse e à lei da reflexão.