Um fóton de energia E colide frontalmente com uma partícula de massa de repouso m1. Após a colisão, uma partícula de massa m2 é criada e o fóton incidente é espalhado um ângulo theta em relação ao seu momento inicial. Determine a energia E^prime do fóton espalhado.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fóton com energia que bate de frente com uma partícula que está em repouso e tem massa . Depois da colisão, é criada uma nova partícula com massa e o fóton que veio é desviado, formando um ângulo em relação à sua direção inicial. O que precisamos descobrir é qual é a energia desse fóton espalhado.
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas ideias da física de partículas e da relatividade, especialmente os conceitos de conservação de energia e de momento (ou quantidade de movimento). Vamos quebrar isso em passos para entender melhor como chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em qualquer colisão, a energia total e o momento total devem ser conservados. Isso significa que a energia que temos antes da colisão deve ser igual à energia que temos depois, e o mesmo vale para o momento.
A energia total antes da colisão é a soma da energia do fóton e da energia de repouso da partícula E + m1 c^2 = E' + m2 c^2 . Depois da colisão, temos a energia do fóton espalhado e a energia de repouso da nova partícula .
Então, podemos escrever a equação da conservação de energia assim:
Aqui, é a velocidade da luz.

Passo 3

Agora, vamos pensar no momento. O fóton tem uma quantidade de movimento que está relacionada à sua energia. Para os fótons, a relação entre energia p = Ec e momento é:
Como a partícula está em repouso inicialmente, seu momento inicial é zero. Após a colisão, temos o fóton espalhado com momento fazendo um ângulo em relação à direção original, e a nova partícula adquirindo algum momento .
Como a colisão é frontal, podemos considerar a conservação do momento nas duas direções: horizontal e vertical.

Passo 4

Vamos resolver a conservação do momento na direção horizontal (a direção original do fóton):
Ec = E'c cos theta + p2 cos phi
E na direção vertical:
0 = E'c sin theta - p2 sin phi
Aqui, E2^2 = (p2 c)^2 + (m2 c^2)^2 é o ângulo que o momento da partícula faz com a direção original.
Além disso, sabemos que a energia da partícula pode ser relacionada à sua massa e momento pela relação da relatividade:

Passo 5

Vamos resolver essas equações passo a passo. Primeiro, da segunda equação (momentos na direção vertical):
E'c sin theta = p2 sin phi
Podemos isolar p2 = E' sin thetac sin phi :
Ec = E'c cos theta + E' sin thetac sin phi cos phi
Agora, substituímos Ec = E'c cos theta + E' sin theta cos phic sin phi na primeira equação (momentos na direção horizontal):
Ec = E'c cos theta + E' sin theta cos thetac sin theta
Simplificando:
Ec = E'c cos theta + E' cos thetac
Para resolver isso, precisaríamos de mais informações sobre os ângulos ou relações adicionais, mas para simplificar, podemos assumir que a partícula Ec = 2 E' cos thetac move-se na direção que equilibra os momentos, levando à conclusão que E' = E2 cos theta .
Substituindo :
Simplificando ainda mais:
Finalmente, isolando :

Resposta

A energia E' = E2 cos theta do fóton espalhado é:

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