Um píon ( ) é uma partícula subatômica que pode decair em um pósitron e em um elétron-neutrino
Qual a mínima velocidade do píon se o pósitron e o neutrino se movem formando um ângulo reto entre si?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está perguntando. A gente tem um píon positivo ( ) que decai em um pósitron ( ) e um neutrino do elétron ( ). A pergunta é: qual a mínima velocidade que o píon precisa ter para que o pósitron e o neutrino se movam formando um ângulo de 90 graus entre eles?
Aqui, vamos trabalhar com conceitos de conservação de momento e energia na física de partículas. Vamos precisar usar a relação de conservação do momento linear e considerar as massas das partículas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a conservação do momento linear diz que o momento total antes da reação deve ser igual ao momento total depois da reação. Se o píon está se movendo com uma velocidade mínima, isso significa que ele está no seu estado de repouso no referencial do sistema, ou seja, estamos procurando a condição em que o momento resultante dos produtos seja zero ou forme um ângulo de 90 graus.

Passo 3

Vamos considerar os momentos dos produtos. O pósitron ( ) e o neutrino ( ) têm momentos e , respectivamente. Como eles formam um ângulo de 90 graus, o produto escalar entre esses momentos será zero:

Passo 4

Sabemos que o momento ( ) de uma partícula é dado por:
onde é o fator de Lorentz, é a massa da partícula e é a velocidade.
No caso do neutrino, sua massa é muito pequena e podemos aproximar sua energia como sendo dominada pelo momento, ou seja, .

Passo 5

A conservação da energia também se aplica aqui. A energia total inicial do píon deve ser igual à soma das energias dos produtos:
Onde , , e .

Passo 6

Com a condição do ângulo reto entre os momentos, usamos o teorema de Pitágoras para relacionar os momentos:
Isso porque os vetores momento são perpendiculares.

Passo 7

Substituindo as expressões dos momentos na equação acima:
E usando a relação entre energia e momento para o neutrino:

Passo 8

Agora, precisamos resolver essas equações para encontrar a velocidade mínima . Isso envolve algumas manipulações algébricas e considerações sobre as massas relativas das partículas. No entanto, para simplificar, vamos considerar as massas das partículas envolvidas e assumir que a energia cinética do píon é dominada pela sua massa.

Passo 9

Depois de resolver as equações, chegamos à expressão para a velocidade mínima do píon:
Onde é a massa do pósitron e é a massa do píon.

Resposta

A mínima velocidade do píon é:
Onde é a velocidade da luz, é a massa do pósitron e é a massa do píon.

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