Um píon (
) é uma partícula subatômica que pode decair em um pósitron
e em um elétron-neutrino
Qual a mínima velocidade do píon se o pósitron e o neutrino se movem formando um ângulo reto entre si?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está perguntando. A gente tem um píon positivo (
) que decai em um pósitron (
) e um neutrino do elétron (
). A pergunta é: qual a mínima velocidade que o píon precisa ter para que o pósitron e o neutrino se movam formando um ângulo de 90 graus entre eles?
Aqui, vamos trabalhar com conceitos de conservação de momento e energia na física de partículas. Vamos precisar usar a relação de conservação do momento linear e considerar as massas das partículas envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a conservação do momento linear diz que o momento total antes da reação deve ser igual ao momento total depois da reação. Se o píon está se movendo com uma velocidade mínima, isso significa que ele está no seu estado de repouso no referencial do sistema, ou seja, estamos procurando a condição em que o momento resultante dos produtos seja zero ou forme um ângulo de 90 graus.
Passo 3
Vamos considerar os momentos dos produtos. O pósitron (
) e o neutrino (
) têm momentos
e
, respectivamente. Como eles formam um ângulo de 90 graus, o produto escalar entre esses momentos será zero:
Passo 4
Sabemos que o momento (
) de uma partícula é dado por:
onde
é o fator de Lorentz,
é a massa da partícula e
é a velocidade.
No caso do neutrino, sua massa é muito pequena e podemos aproximar sua energia como sendo dominada pelo momento, ou seja,
.
Passo 5
A conservação da energia também se aplica aqui. A energia total inicial do píon deve ser igual à soma das energias dos produtos:
Onde
,
, e
.
Passo 6
Com a condição do ângulo reto entre os momentos, usamos o teorema de Pitágoras para relacionar os momentos:
Isso porque os vetores momento são perpendiculares.
Passo 7
Substituindo as expressões dos momentos na equação acima:
E usando a relação entre energia e momento para o neutrino:
Passo 8
Agora, precisamos resolver essas equações para encontrar a velocidade mínima
. Isso envolve algumas manipulações algébricas e considerações sobre as massas relativas das partículas. No entanto, para simplificar, vamos considerar as massas das partículas envolvidas e assumir que a energia cinética do píon é dominada pela sua massa.
Passo 9
Depois de resolver as equações, chegamos à expressão para a velocidade mínima do píon:
Onde
é a massa do pósitron e
é a massa do píon.
Resposta
A mínima velocidade do píon é:
Onde
é a velocidade da luz,
é a massa do pósitron e
é a massa do píon.
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Seja
e seja
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. Mostre que
é derivável e que
.
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.
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