(FOX: 8^ a Ed.) Em um funil cônico, de meio ângulo Phi=30^circ, água é drenada a partir de um orifício ( d=0,24 in ), localizado no vértice do funil. A velocidade da água na saída do orifício é calculada, aproximadamente por v=(2 g y)^1 / 2, onde y é a altura de a altura da superfície livre do líquido acima do orifício. Inicialmente, o funil está cheio até uma altura y o=12 in. Obter uma expressão para o tempo (t), de drenagem completa do funil. Calcular: b) E, de 6 in até esvaziar o funil.

Passo 1

Então, vamos lá! O que a pergunta está pedindo é para a gente calcular quanto tempo leva para esvaziar completamente um funil cônico que está drenando água por um orifício no vértice. Estamos trabalhando com física, especificamente na área de hidrodinâmica. Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade da água que sai do orifício está relacionada à altura da água no funil e como essa altura diminui com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que já temos:
  • Meio ângulo do funil, Φ = 30°
  • Diâmetro do orifício, d = 0,24 in
  • Altura inicial da água, y₀ = 12 in
  • Velocidade da água na saída: v = √(2gy), onde g é a aceleração da gravidade e y é a altura da água acima do orifício.
  • Queremos encontrar o tempo para a água descer de y = 6 in até esvaziar o funil.

Passo 3

Vamos começar entendendo a fórmula da velocidade da água: v = √(2gy). Essa equação vem do Princípio de Torricelli, que nos diz que a velocidade de saída de um líquido sob a gravidade através de um orifício é equivalente à velocidade que um objeto teria se caísse livremente de uma altura y sob a aceleração da gravidade g.

Passo 4

Agora, precisamos relacionar essa velocidade com a taxa de descida da altura da água no funil. A área da seção transversal do funil em qualquer altura y depende da geometria do funil. Como o funil é cônico com meio ângulo de 30°, podemos expressar o raio r em termos de y usando trigonometria:
r = y cdot tan(Phi)
Onde Φ = 30°, então:
r = y cdot tan(30°)
E a área A da superfície da água é:
A = pi r^2 = pi (y cdot tan(30°))^2

Passo 5

A vazão Q, que é o volume de água que sai por unidade de tempo, é dado pelo produto da área do orifício pela velocidade da água:
Q = Aorifício cdot v í
Mas A_{orifício} é a área do orifício de diâmetro d:
Aorifício = pi d^24 í
Então:
Q = pi d^24 cdot raiz2gy

Passo 6

A taxa de variação do volume de água no funil também está relacionada com a taxa de variação da altura y:
Q = -A cdot dydt
O sinal negativo indica que a altura y está diminuindo com o tempo. Então, podemos igualar as duas expressões para Q:
-A cdot dydt = pi d^24 cdot raiz2gy

Passo 7

Substituindo a expressão de A que encontramos anteriormente:
-pi (y cdot tan(30°))^2 cdot dydt = pi d^24 cdot raiz2gy
Podemos simplificar cancelando π de ambos os lados:
-(y cdot tan(30°))^2 cdot dydt = d^24 cdot raiz2gy

Passo 8

Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis y e t:
- (y^2 cdot tan^2(30°)) dy = d^24 cdot raiz2g cdot y^1/2 dt
Dividindo ambos os lados por y^{1/2} e multiplicando por dt, temos:
- y^3/2 cdot tan^2(30°) dy = d^24 cdot raiz2g dt

Passo 9

Agora, integramos ambos os lados para encontrar o tempo total necessário para que y vá de 6 in até 0:
integral6^0 - y^3/2 cdot tan^2(30°) dy = integral0^t d^24 cdot raiz2g dt
A integral do lado esquerdo é:
- tan^2(30°) integral6^0 y^3/2 dy = tan^2(30°) integral0^6 y^3/2 dy
E a integral do lado direito é:
d^24 cdot raiz2g cdot t

Passo 10

Calculando as integrais:
Para o lado esquerdo:
tan^2(30°) cdot [ 25 y^5/2 ]0^6 = tan^2(30°) cdot 25 cdot 6^5/2
Para o lado direito:
d^24 cdot raiz2g cdot t
Igualando as duas expressões:
tan^2(30°) cdot 25 cdot 6^5/2 = d^24 cdot raiz2g cdot t

Passo 11

Agora, resolvemos para t:
t = 4 cdot tan^2(30°) cdot 25 cdot 6^5/2d^2 cdot raiz2g
Simplificando os fatores:
t = 85 cdot tan^2(30°) cdot 6^5/2d^2 cdot raiz2g

Passo 12

Agora, substituímos os valores numéricos:
  • Tan(30°) = $ \frac{\sqrt{3}}{3} $
  • d = 0,24 in ⁄ 12 = 0,02 ft (convertendo para pés)
  • g = 32,174 ft/s²
Calculando $ 6^{5/2} = 6^{2} \cdot 6^{1/2} = 36 \cdot \sqrt{6} $
Substituindo na equação:
raiz33

Passo 13

Calculando passo a passo:
  1. $ \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $
  2. $ 36 \cdot \sqrt{6} \approx 36 \cdot 2,449 = 88,164 $
  3. $ (0,02)^2 = 0,0004 $
  4. $ \sqrt{2 \cdot 32,174} = \sqrt{64,348} \approx 8,022 $
Substituindo de volta:
( raiz33 )^2 = 39 = 13
Calculando o numerador:
36 cdot raiz6 approx 36 cdot 2,449 = 88,164
Calculando o denominador:
(0,02)^2 = 0,0004
Agora:
raiz2 cdot 32,174 = raiz64,348 approx 8,022
Calculando a divisão:
t = 85 cdot 13 cdot 88,1640,0004 cdot 8,022
Agora, multiplicando por $ \frac{8}{5} $:
13 cdot 88,164 approx 29,388

Resposta

O tempo necessário para a água descer de 6 polegadas até esvaziar completamente o funil é aproximadamente 14.657 segundos, ou seja, cerca de 4 horas e 4 minutos.

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