(FOX:
Ed.) Em um funil cônico, de meio ângulo
, água é drenada a partir de um orifício (
), localizado no vértice do funil. A velocidade da água na saída do orifício é calculada, aproximadamente por
, onde y é a altura de a altura da superfície livre do líquido acima do orifício. Inicialmente, o funil está cheio até uma altura
in. Obter uma expressão para o tempo
, de drenagem completa do funil. Calcular: b) E, de 6 in até esvaziar o funil.
Passo 1
Então, vamos lá! O que a pergunta está pedindo é para a gente calcular quanto tempo leva para esvaziar completamente um funil cônico que está drenando água por um orifício no vértice. Estamos trabalhando com física, especificamente na área de hidrodinâmica. Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade da água que sai do orifício está relacionada à altura da água no funil e como essa altura diminui com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que já temos:
- Meio ângulo do funil, Φ = 30°
- Diâmetro do orifício, d = 0,24 in
- Altura inicial da água, y₀ = 12 in
- Velocidade da água na saída: v = √(2gy), onde g é a aceleração da gravidade e y é a altura da água acima do orifício.
- Queremos encontrar o tempo para a água descer de y = 6 in até esvaziar o funil.
Passo 3
Vamos começar entendendo a fórmula da velocidade da água: v = √(2gy). Essa equação vem do Princípio de Torricelli, que nos diz que a velocidade de saída de um líquido sob a gravidade através de um orifício é equivalente à velocidade que um objeto teria se caísse livremente de uma altura y sob a aceleração da gravidade g.
Passo 4
Agora, precisamos relacionar essa velocidade com a taxa de descida da altura da água no funil. A área da seção transversal do funil em qualquer altura y depende da geometria do funil. Como o funil é cônico com meio ângulo de 30°, podemos expressar o raio r em termos de y usando trigonometria:
Onde Φ = 30°, então:
E a área A da superfície da água é:
Passo 5
A vazão Q, que é o volume de água que sai por unidade de tempo, é dado pelo produto da área do orifício pela velocidade da água:
Mas A_{orifício} é a área do orifício de diâmetro d:
Então:
Passo 6
A taxa de variação do volume de água no funil também está relacionada com a taxa de variação da altura y:
O sinal negativo indica que a altura y está diminuindo com o tempo. Então, podemos igualar as duas expressões para Q:
Passo 7
Substituindo a expressão de A que encontramos anteriormente:
Podemos simplificar cancelando π de ambos os lados:
Passo 8
Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis y e t:
Dividindo ambos os lados por y^{1/2} e multiplicando por dt, temos:
Passo 9
Agora, integramos ambos os lados para encontrar o tempo total necessário para que y vá de 6 in até 0:
A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Passo 10
Calculando as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Igualando as duas expressões:
Passo 11
Agora, resolvemos para t:
Simplificando os fatores:
Passo 12
Agora, substituímos os valores numéricos:
- Tan(30°) = $ \frac{\sqrt{3}}{3} $
- d = 0,24 in ⁄ 12 = 0,02 ft (convertendo para pés)
- g = 32,174 ft/s²
Calculando $ 6^{5/2} = 6^{2} \cdot 6^{1/2} = 36 \cdot \sqrt{6} $
Substituindo na equação:
Passo 13
Calculando passo a passo:
- $ \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $
- $ 36 \cdot \sqrt{6} \approx 36 \cdot 2,449 = 88,164 $
- $ (0,02)^2 = 0,0004 $
- $ \sqrt{2 \cdot 32,174} = \sqrt{64,348} \approx 8,022 $
Substituindo de volta:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Agora:
Calculando a divisão:
Agora, multiplicando por $ \frac{8}{5} $:
Resposta
O tempo necessário para a água descer de 6 polegadas até esvaziar completamente o funil é aproximadamente 14.657 segundos, ou seja, cerca de 4 horas e 4 minutos.