(FOX: 8 ^ a Ed.) Líquido é drenado de um tanque cilíndrico, de diâmetro DI=50 mm, através de um orifício localizado no fundo do tanque de 5 mm de diâmetro. A velocidade do líquido que sai do tanque é calculada, aproximadamente por v=(2 g y)^1 / 2, onde y é a distância vertical do fundo do tanque até a superfície livre. Se o tanque estiver, inicialmente prenchido até y o=0,4 m, determinar:
a) A profundidades da água em t=12 segundos, após o início da drenagem;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque cilíndrico com diâmetro de 50 mm cheio até 0,4 metros de água. Tem um orifício no fundo de 5 mm por onde a água sai. Queremos descobrir qual é a profundidade da água depois de 12 segundos do início da drenagem. Vamos usar conceitos de fluxo de líquidos e física básica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que descreve a velocidade da água saindo do tanque:
v = raiz2 g y
Aqui, $ v $ é a velocidade da água, $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 , m/s^2 $) e $ y $ é a altura da água no tanque em um dado momento.

Passo 3

O fluxo volumétrico $ Q $ (quantidade de água que sai por segundo) é dado pela área do orifício multiplicada pela velocidade da água:
Q
A área do orifício $ a $ é:
Q = a cdot v
Onde $ D_o $ é o diâmetro do orifício. Substituindo os valores:
a
a = pi (Do2)^2

Passo 4

A área da superfície do tanque $ A $ é:
A
Onde $ D_I = 50 , mm = 0,05 , m $.
A = pi (DI2)^2

Passo 5

A taxa de variação da altura da água no tanque em relação ao tempo é dada por:
A cdot dydt = -Q
Substituindo $ Q $:
Q
Rearranjando:
A cdot dydt = -a cdot raiz2 g y

Passo 6

Separando as variáveis para integrar:
dyraizy = -a raiz2gA dt
Integrando ambos os lados:
2 raizy = -a raiz2gA t + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar $ C $. No tempo $ t = 0 $, $ y = 0,4 , m $:
C
t = 0
Então, a equação fica:
y = 0,4 , m

Passo 8

Vamos resolver para $ y $ quando $ t = 12 $ segundos:
y
Calculando os valores:
t = 12
2 raizy = -1,96 times 10^-5 raiz2 times 9,811,9635 times 10^-3 times 12 + 1,265
Então:
raiz2 times 9,81 approx 4,43
-1,96 times 10^-5 times 4,431,9635 times 10^-3 times 12 approx -0,0053
2 raizy = -0,0053 + 1,265
2 raizy = 1,2597

Resposta

A profundidade da água após 12 segundos é aproximadamente $ 0,396 $ metros.

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