(FOX: 8
Ed.) Líquido é drenado de um tanque cilíndrico, de diâmetro
, através de um orifício localizado no fundo do tanque de 5 mm de diâmetro. A velocidade do líquido que sai do tanque é calculada, aproximadamente por
, onde
é a distância vertical do fundo do tanque até a superfície livre. Se o tanque estiver, inicialmente prenchido até
, determinar:
a) A profundidades da água em
segundos, após o início da drenagem;
a) A profundidades da água em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque cilíndrico com diâmetro de 50 mm cheio até 0,4 metros de água. Tem um orifício no fundo de 5 mm por onde a água sai. Queremos descobrir qual é a profundidade da água depois de 12 segundos do início da drenagem. Vamos usar conceitos de fluxo de líquidos e física básica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que descreve a velocidade da água saindo do tanque:
Aqui, $ v $ é a velocidade da água, $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 , m/s^2 $) e $ y $ é a altura da água no tanque em um dado momento.
Passo 3
O fluxo volumétrico $ Q $ (quantidade de água que sai por segundo) é dado pela área do orifício multiplicada pela velocidade da água:
A área do orifício $ a $ é:
Onde $ D_o $ é o diâmetro do orifício. Substituindo os valores:
Passo 4
A área da superfície do tanque $ A $ é:
Onde $ D_I = 50 , mm = 0,05 , m $.
Passo 5
A taxa de variação da altura da água no tanque em relação ao tempo é dada por:
Substituindo $ Q $:
Rearranjando:
Passo 6
Separando as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Usamos a condição inicial para encontrar $ C $. No tempo $ t = 0 $, $ y = 0,4 , m $:
Então, a equação fica:
Passo 8
Vamos resolver para $ y $ quando $ t = 12 $ segundos:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
A profundidade da água após 12 segundos é aproximadamente $ 0,396 $ metros.