(FOX: 8
Ed.) Líquido é drenado de um tanque cilíndrico, de diâmetro
, através de um orifício localizado no fundo do tanque de 5 mm de diâmetro. A velocidade do líquido que sai do tanque é calculada, aproximadamente por
, onde
é a distância vertical do fundo do tanque até a superfície livre. Se o tanque estiver, inicialmente prenchido até
, determinar:
b) Estimar o tempo necessário para drenar o tanque até a profundidade de 200 mm .
b) Estimar o tempo necessário para drenar o tanque até a profundidade de 200 mm .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque cilíndrico que está sendo drenado por um orifício no fundo. O diâmetro do tanque é 50 mm e o do orifício é 5 mm. A velocidade do líquido que sai é dada por $ v = \sqrt{2gy} $, onde $ y $ é a altura do líquido. Inicialmente, o tanque está cheio até 0,4 m, e queremos saber quanto tempo leva para drenar até 0,2 m. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de geometria dos cilindros e de como a velocidade do líquido está relacionada ao tempo de drenagem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da superfície do tanque e a área do orifício pelo qual o líquido está saindo. A fórmula para a área de um círculo é $ A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 $, onde $ d $ é o diâmetro.
Para o tanque:
Para o orifício:
Passo 3
Agora, vamos entender como a velocidade do líquido ($ v $) está relacionada com a taxa de diminuição do volume no tanque. A velocidade com que o líquido sai é $ v = \sqrt{2gy} $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 m/s^2 $) e $ y $ é a altura do líquido no tanque.
A taxa de saída de volume ($ \frac{dV}{dt} $) é igual à área do orifício multiplicada pela velocidade:
Passo 4
Como o tanque é cilíndrico, o volume de líquido no tanque em qualquer altura $ y $ é:
Então, a taxa de variação do volume em relação ao tempo também pode ser escrita como:
Igualando as duas expressões para $ \frac{dV}{dt} $:
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.
Passo 5
Vamos rearranjar a equação para isolar $ \frac{dy}{dt} $:
Agora, temos uma equação diferencial que podemos separar as variáveis $ y $ e $ t $:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados para encontrar o tempo necessário para o tanque drenar de $ y_0 = 0,4 m $ até $ y = 0,2 m $:
A integral do lado esquerdo:
Então:
Passo 7
Vamos calcular os valores numéricos:
Calculando as raízes:
Então:
Resolvendo para $ t $:
Resposta
O tempo necessário para drenar o tanque até a profundidade de 200 mm é aproximadamente 8,4 segundos.