(FOX: 8 ^ a Ed.) Líquido é drenado de um tanque cilíndrico, de diâmetro DI=50 mm, através de um orifício localizado no fundo do tanque de 5 mm de diâmetro. A velocidade do líquido que sai do tanque é calculada, aproximadamente por v=(2 g y)^1 / 2, onde y é a distância vertical do fundo do tanque até a superfície livre. Se o tanque estiver, inicialmente prenchido até y o=0,4 m, determinar:
b) Estimar o tempo necessário para drenar o tanque até a profundidade de 200 mm .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque cilíndrico que está sendo drenado por um orifício no fundo. O diâmetro do tanque é 50 mm e o do orifício é 5 mm. A velocidade do líquido que sai é dada por $ v = \sqrt{2gy} $, onde $ y $ é a altura do líquido. Inicialmente, o tanque está cheio até 0,4 m, e queremos saber quanto tempo leva para drenar até 0,2 m. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de geometria dos cilindros e de como a velocidade do líquido está relacionada ao tempo de drenagem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da superfície do tanque e a área do orifício pelo qual o líquido está saindo. A fórmula para a área de um círculo é $ A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 $, onde $ d $ é o diâmetro.
Para o tanque:
A = pi (d2)^2
Para o orifício:
d í

Passo 3

Agora, vamos entender como a velocidade do líquido ($ v $) está relacionada com a taxa de diminuição do volume no tanque. A velocidade com que o líquido sai é $ v = \sqrt{2gy} $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 m/s^2 $) e $ y $ é a altura do líquido no tanque.
A taxa de saída de volume ($ \frac{dV}{dt} $) é igual à área do orifício multiplicada pela velocidade:
v íí

Passo 4

Como o tanque é cilíndrico, o volume de líquido no tanque em qualquer altura $ y $ é:
y
Então, a taxa de variação do volume em relação ao tempo também pode ser escrita como:
V = Atanque times y
Igualando as duas expressões para $ \frac{dV}{dt} $:
dVdt = Atanque times dydt í
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.

Passo 5

Vamos rearranjar a equação para isolar $ \frac{dy}{dt} $:
dydt í
Agora, temos uma equação diferencial que podemos separar as variáveis $ y $ e $ t $:
dydt = -AorifícioAtanque times raiz2gy í

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados para encontrar o tempo necessário para o tanque drenar de $ y_0 = 0,4 m $ até $ y = 0,2 m $:
y0 = 0,4 m í
A integral do lado esquerdo:
y = 0,2 m
Então:
integral0,4^0,2 dyraizy = -AorifícioAtanque times raiz2g integral0^t dt í

Passo 7

Vamos calcular os valores numéricos:
2(raiz0,2 - raiz0,4) = -19,631963,5 times raiz2 times 9,81 times t
Calculando as raízes:
raiz0,2 approx 0,4472 e raiz0,4 approx 0,6325
Então:
2(0,4472 - 0,6325) = -19,631963,5 times raiz19,62 times t
2(-0,1853) = -0,01 times 4,429 times t
-0,3706 = -0,04429 times t
Resolvendo para $ t $:
t

Resposta

O tempo necessário para drenar o tanque até a profundidade de 200 mm é aproximadamente 8,4 segundos.

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