Exercício 01 - Equação da Energia
Deduza a equação da energia escrita em função da temperatura para solução de escoamentos incompressíveis em coordenadas retangulares. Discorra sobre o que representa cada termo da equação.

Passo 1

Beleza, então você quer deduzir a equação da energia em função da temperatura para escoamentos incompressíveis usando coordenadas retangulares. Isso envolve entender como a energia se comporta em fluidos que não mudam de densidade enquanto fluem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de conservação de energia, termos de transporte convectivo e difusivo, e trabalhar em coordenadas cartesianas (retangulares).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Equação da Conservação de Energia para um fluido. Ela basicamente diz que a taxa de variação da energia interna mais a energia cinética do fluido é igual à soma das taxas de calor adicionadas ao sistema, trabalho realizado sobre o sistema e transporte de energia pelo fluxo.
Matematicamente, a equação geral de energia pode ser escrita como:
partial (rho e)partial t + nabla cdot (rho e v) = -p nabla cdot v + nabla cdot (k nabla T) + Phi
onde:
  • rho é a densidade,
  • e é a energia interna por unidade de massa,
  • v é o vetor velocidade,
  • p é a pressão,
  • k é a condutividade térmica,
  • T é a temperatura,
  • Phi representa termos de dissipação de energia.

Passo 3

Como estamos lidando com escoamentos incompressíveis, isso significa que a densidade rho é constante e a divergência da velocidade é zero:
nabla cdot v = 0
Isso simplifica a equação, eliminando o termo -p nabla cdot v, já que será zero.

Passo 4

Agora, vamos expressar a equação em coordenadas retangulares (x, y, z). O termo de transporte convectivo nabla cdot (rho e v) em coordenadas cartesianas fica:
rho ( vx partial epartial x + vy partial epartial y + vz partial epartial z )
onde vx, vy, vz são as componentes da velocidade nas direções x, y, e z, respectivamente.

Passo 5

Assumindo que a energia interna e está relacionada principalmente à temperatura, podemos reescrever a equação em termos de T. Além disso, vamos considerar que os termos de dissipação Phi podem ser negligenciados para simplificação inicial.
Então, a equação fica:
rho cp ( partial Tpartial t + vx partial Tpartial x + vy partial Tpartial y + vz partial Tpartial z ) = k ( partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 + partial^2 Tpartial z^2 )
onde cp é a capacidade calorífica a pressão constante.

Passo 6

Vamos agora interpretar cada termo da equação:
  • rho cp partial Tpartial t: Representa a variação temporal da temperatura.
  • rho cp (vx partial Tpartial x + vy partial Tpartial y + vz partial Tpartial z): Representa o transporte convectivo de calor pelas componentes da velocidade em cada direção.
  • k (partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 + partial^2 Tpartial z^2): Representa a difusão de calor devido à condução térmica nas três direções espaciais.
Essa equação mostra como a temperatura varia no tempo e no espaço devido aos efeitos combinados de convecção e condução em um fluxo incompressível.

Resposta

A equação da energia em função da temperatura para escoamentos incompressíveis em coordenadas retangulares é dada por:
rho cp ( partial Tpartial t + vx partial Tpartial x + vy partial Tpartial y + vz partial Tpartial z ) = k ( partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 + partial^2 Tpartial z^2 )
Onde cada termo representa:
  • Variação temporal da temperatura ( rho cp partial Tpartial t): Como a temperatura muda ao longo do tempo.
  • Transporte convectivo de calor ( rho cp (vx partial Tpartial x + vy partial Tpartial y + vz partial Tpartial z)): Como o calor é transportado pelas diferentes direções de fluxo do fluido.
  • Difusão térmica ( k (partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 + partial^2 Tpartial z^2)): Como o calor se espalha espacialmente por condução nas três direções.
Essa equação descreve como a temperatura se comporta em um escoamento incompressível, levando em conta tanto a movimentação do fluido quanto a condução térmica.

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