Exercício 01 - Equação da Energia
Deduza a equação da energia escrita em função da temperatura para solução de escoamentos incompressíveis em coordenadas retangulares. Discorra sobre o que representa cada termo da equação.
Deduza a equação da energia escrita em função da temperatura para solução de escoamentos incompressíveis em coordenadas retangulares. Discorra sobre o que representa cada termo da equação.
Passo 1
Beleza, então você quer deduzir a equação da energia em função da temperatura para escoamentos incompressíveis usando coordenadas retangulares. Isso envolve entender como a energia se comporta em fluidos que não mudam de densidade enquanto fluem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de conservação de energia, termos de transporte convectivo e difusivo, e trabalhar em coordenadas cartesianas (retangulares).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Equação da Conservação de Energia para um fluido. Ela basicamente diz que a taxa de variação da energia interna mais a energia cinética do fluido é igual à soma das taxas de calor adicionadas ao sistema, trabalho realizado sobre o sistema e transporte de energia pelo fluxo.
Matematicamente, a equação geral de energia pode ser escrita como:
onde:
-
é a densidade, -
é a energia interna por unidade de massa, -
é o vetor velocidade, -
é a pressão, -
é a condutividade térmica, -
é a temperatura, -
representa termos de dissipação de energia.
Passo 3
Como estamos lidando com escoamentos incompressíveis, isso significa que a densidade
é constante e a divergência da velocidade é zero:
Isso simplifica a equação, eliminando o termo
, já que será zero.
Passo 4
Agora, vamos expressar a equação em coordenadas retangulares
. O termo de transporte convectivo
em coordenadas cartesianas fica:
onde
,
,
são as componentes da velocidade nas direções
,
, e
, respectivamente.
Passo 5
Assumindo que a energia interna
está relacionada principalmente à temperatura, podemos reescrever a equação em termos de
. Além disso, vamos considerar que os termos de dissipação
podem ser negligenciados para simplificação inicial.
Então, a equação fica:
onde
é a capacidade calorífica a pressão constante.
Passo 6
Vamos agora interpretar cada termo da equação:
-
: Representa a variação temporal da temperatura. -
: Representa o transporte convectivo de calor pelas componentes da velocidade em cada direção. -
: Representa a difusão de calor devido à condução térmica nas três direções espaciais.
Essa equação mostra como a temperatura varia no tempo e no espaço devido aos efeitos combinados de convecção e condução em um fluxo incompressível.
Resposta
A equação da energia em função da temperatura para escoamentos incompressíveis em coordenadas retangulares é dada por:
Onde cada termo representa:
- Variação temporal da temperatura (
): Como a temperatura muda ao longo do tempo. - Transporte convectivo de calor (
): Como o calor é transportado pelas diferentes direções de fluxo do fluido. - Difusão térmica (
): Como o calor se espalha espacialmente por condução nas três direções.
Essa equação descreve como a temperatura se comporta em um escoamento incompressível, levando em conta tanto a movimentação do fluido quanto a condução térmica.