O freio de um caminhão de massa
deixa de funcionar quando ele está descendo uma estrada de montanha com gelo inclinada de um ângulo
(Figura 7.40). Inicialmente o caminhão desce a montanha com velocidade
. Depois de percorrer com atrito desprezível uma distância
até a base da montanha, o motorista vira o volante e faz o caminhão subir uma rampa de emergência para caminhões inclinada para cima com um ângulo
constante. A rampa para caminhões é pavimentada com areia fofa que possui um atrito de rolamento igual a
. Qual é a distância percorrida pelo caminhão ao subir a rampa até parar? Use o método da energia.
Figura 7.40 Problema 7.66.
Figura 7.40 Problema 7.66.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um caminhão de massa
que está descendo uma estrada inclinada com ângulo
sem atrito, partindo de uma velocidade inicial
. Depois de descer uma distância
, o motorista vê que os freios não estão funcionando e decide subir uma rampa de emergência inclinada com ângulo
, que tem atrito de rolamento
. Queremos descobrir quanto o caminhão vai subir na rampa antes de parar. Para resolver isso, vamos usar o método da energia, que envolve calcular as energias envolvidas e como elas se transformam.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade do caminhão na base da montanha, após descer a distância
. Como a descida é sem atrito, a energia mecânica é conservada. A energia cinética inicial do caminhão é transformada em energia potencial gravitacional na base.
A energia cinética inicial é:
Ao descer a distância
, a altura descendida
é:
A energia potencial perdida é:
Pelo princípio da conservação da energia:
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora, com a velocidade
na base da montanha, o caminhão começa a subir a rampa de emergência. Durante a subida, a energia cinética inicial será usada para vencer a energia potencial gravitacional e o trabalho realizado pelo atrito de rolamento.
A energia cinética na base é:
O trabalho contra a gravidade ao subir uma altura
na rampa é:
onde
é a distância percorrida na rampa.
O trabalho do atrito de rolamento é:
Passo 4
Pelo método da energia, a energia cinética inicial será igual ao somatório dos trabalhos contra a gravidade e o atrito:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Fatorando
do lado direito:
Isolando
:
Substituindo
pela expressão que encontramos no Passo 2:
Simplificando:
Resposta
A distância percorrida pelo caminhão ao subir a rampa até parar é: