O freio de um caminhão de massa m deixa de funcionar quando ele está descendo uma estrada de montanha com gelo inclinada de um ângulo alpha (Figura 7.40). Inicialmente o caminhão desce a montanha com velocidade v0. Depois de percorrer com atrito desprezível uma distância L até a base da montanha, o motorista vira o volante e faz o caminhão subir uma rampa de emergência para caminhões inclinada para cima com um ângulo beta constante. A rampa para caminhões é pavimentada com areia fofa que possui um atrito de rolamento igual a muT. Qual é a distância percorrida pelo caminhão ao subir a rampa até parar? Use o método da energia.
Figura 7.40 Problema 7.66.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um caminhão de massa que está descendo uma estrada inclinada com ângulo sem atrito, partindo de uma velocidade inicial . Depois de descer uma distância , o motorista vê que os freios não estão funcionando e decide subir uma rampa de emergência inclinada com ângulo , que tem atrito de rolamento . Queremos descobrir quanto o caminhão vai subir na rampa antes de parar. Para resolver isso, vamos usar o método da energia, que envolve calcular as energias envolvidas e como elas se transformam.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade do caminhão na base da montanha, após descer a distância Ecinicial = 12 m v0^2 . Como a descida é sem atrito, a energia mecânica é conservada. A energia cinética inicial do caminhão é transformada em energia potencial gravitacional na base.
A energia cinética inicial é:
h = L sin(alpha)
Ao descer a distância Epotencial = m g h = m g L sin(alpha) , a altura descendida Ecinicial = Ecinematica final + Epotencial é:
12 m v0^2 = 12 m v^2 + m g L sin(alpha)
A energia potencial perdida é:
v = raizv0^2 - 2 g L sin(alpha)
Pelo princípio da conservação da energia:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora, com a velocidade Ecinética = 12 m v^2 na base da montanha, o caminhão começa a subir a rampa de emergência. Durante a subida, a energia cinética inicial será usada para vencer a energia potencial gravitacional e o trabalho realizado pelo atrito de rolamento.
A energia cinética na base é:
Wgravidade = m g h' = m g d sin(beta) é
O trabalho contra a gravidade ao subir uma altura Watrito = muT m g cos(beta) cdot d na rampa é:
onde é a distância percorrida na rampa.
O trabalho do atrito de rolamento é:

Passo 4

Pelo método da energia, a energia cinética inicial será igual ao somatório dos trabalhos contra a gravidade e o atrito:
12 m v^2 = m g d sin(beta) + muT m g cos(beta) cdot d
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 12 v^2 = g d sin(beta) + muT g cos(beta) cdot d :
12 v^2 = d ( g sin(beta) + muT g cos(beta) )
Fatorando d = 12 v^2g ( sin(beta) + muT cos(beta) ) do lado direito:
d = 12 ( v0^2 - 2 g L sin(alpha) )g ( sin(beta) + muT cos(beta) )
Isolando d = v0^2 - 2 g L sin(alpha)2 g ( sin(beta) + muT cos(beta) ) :
Substituindo pela expressão que encontramos no Passo 2:
Simplificando:

Resposta

A distância percorrida pelo caminhão ao subir a rampa até parar é:
d = v0^2 - 2 g L sin(alpha)2 g ( sin(beta) + muT cos(beta) )

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