O vetor A possui comprimento igual a 2,80 cm e está no primeiro quadrante a 60^circ acima do eixo x. O vetor B possui comprimento igual a 1,90 cm e está no quarto quadrante a 60^circ abaixo do eixo x. Use componentes para encontrar o módulo e a direção de B-A.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, A e B, com comprimentos e direções específicas no plano cartesiano. Nosso objetivo é encontrar o módulo (comprimento) e a direção do vetor resultante da subtração B - A usando componentes. Para isso, precisamos utilizar conceitos de decomposição de vetores em suas componentes nas direções x e y.

Passo 2

Vamos decompor cada vetor em suas componentes horizontais (eixo x) e verticais (eixo y). Sabemos que, para um vetor com magnitude R e ângulo theta em relação ao eixo x:
  • A componente x é R cos(theta)
  • A componente y é R sin(theta)

Passo 3

Vamos decompor o vetor A:
  • Comprimento de A: 2,80 , cm
  • Ângulo acima do eixo x: 60^circ
Assim:
  • Componente x de A: Ax = 2,80 cos(60^circ)
  • Componente y de A: Ay = 2,80 sin(60^circ)

Passo 4

Calculando as componentes de A:
  • Ax = 2,80 times 0,5 = 1,40 , cm
  • Ay = 2,80 times raiz32 approx 2,80 times 0,8660 approx 2,4248 , cm

Passo 5

Agora, vamos decompor o vetor B:
  • Comprimento de B: 1,90 , cm
  • Ângulo abaixo do eixo x: 60^circ
Lembrando que, como o ângulo está abaixo do eixo x, a componente y será negativa.
Assim:
  • Componente x de B: Bx = 1,90 cos(60^circ)
  • Componente y de B: By = -1,90 sin(60^circ)

Passo 6

Calculando as componentes de B:
  • Bx = 1,90 times 0,5 = 0,95 , cm
  • By = -1,90 times raiz32 approx -1,90 times 0,8660 approx -1,6434 , cm

Passo 7

Agora, vamos calcular as componentes do vetor B - A subtraindo as componentes correspondentes:
  • Componente x: Bx - Ax = 0,95 - 1,40 = -0,45 , cm
  • Componente y: By - Ay = -1,6434 - 2,4248 approx -4,0682 , cm

Passo 8

Para encontrar o módulo do vetor resultante, usamos a fórmula do módulo de um vetor a partir de suas componentes:
|B - A| = raiz(Bx - Ax)^2 + (By - Ay)^2
Substituindo os valores:
|B - A| = raiz(-0,45)^2 + (-4,0682)^2 approx raiz0,2025 + 16,5498 approx raiz16,7523 approx 4,09 , cm

Passo 9

Para encontrar a direção do vetor resultante, calculamos o ângulo theta com o eixo x usando a função tangente inversa:
theta = tan^-1(By - AyBx - Ax) = tan^-1(-4,0682-0,45)
Como ambos os componentes são negativos, o vetor está no terceiro quadrante. Calculando:
theta = tan^-1(4,06820,45) approx tan^-1(9,04) approx 83,1^circ
Como está no terceiro quadrante, a direção em relação ao eixo x é:
180^circ + 83,1^circ = 263,1^circ

Resposta

O vetor B - A possui módulo aproximado de 4,09 , cm e direção de 263,1^circ em relação ao eixo x.

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