Uma frigideira é esquecida sobre uma placa quente. Assumindo que o fundo da frigideira está sujeita a um fluxo de calor constante. A temperatura ambiente é T e coeficiente de calor por convecção iguais a . A condutividade térmica, espessura, raio e comprimento da frigideira são iguais a e L, respectivamente. Encontre a distribuição de temperatura da frigideira.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma frigideira esquecida sobre uma placa quente. O fundo da frigideira está recebendo um fluxo de calor constante. A temperatura ambiente é e o coeficiente de convecção é . Além disso, sabemos a condutividade térmica , a espessura , o raio e o comprimento da frigideira. Nosso objetivo aqui é descobrir como a temperatura varia dentro da frigideira, ou seja, encontrar a distribuição de temperatura.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com transferência de calor por condução e convecção. A condução de calor dentro do material da frigideira pode ser descrita pela equação de condução de calor estática:
Onde é a temperatura e é a posição dentro da frigideira.

Passo 3

Como a equação é igual a zero, isso significa que a segunda derivada da temperatura em relação a é zero, indicando que a temperatura varia linearmente ao longo da espessura da frigideira. Portanto, a solução geral para a temperatura é:
Onde e são constantes que precisamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

Vamos aplicar as condições de contorno. No fundo da frigideira ( ), temos um fluxo de calor constante . A relação entre fluxo de calor e a derivada da temperatura é dada por:
Substituindo nossa expressão para :
Então:

Passo 5

A outra condição de contorno está na superfície da frigideira ( ), onde ocorre transferência de calor por convecção para a temperatura ambiente . A condição de convecção é dada por:
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver para :
Isolando :
Dividindo tudo por :

Passo 7

Agora temos as constantes e . Vamos substituir de volta na expressão para :
Simplificando:

Passo 8

Podemos reorganizar os termos para deixar a expressão mais clara:

Resposta

A distribuição de temperatura da frigideira é dada por:

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