A função y(x, t)=(15 cm) cos [pi x-15 pi t], com x em metros e t em segundos, descreve uma onda em uma corda esticada. Qual é a velocidade transversal da onda em um ponto da corda no instante em que o ponto possui um deslocamento y=(12 cm) ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que descreve o movimento de uma onda em uma corda esticada:
y(x, t) = (15 cm) cos[pi x - 15pi t]
O conteúdo envolvido aqui é o estudo de ondas, especificamente sobre a velocidade transversa de uma onda. Para resolver este problema, precisamos entender como calcular a velocidade de uma partícula na corda quando ela está oscilando transversalmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da função dada:
  • é a amplitude da onda.
  • A expressão dentro do cosseno, , representa a fase da onda, onde:
    • é o número de onda.
    • é a frequência angular.

Passo 3

A velocidade transversa vt = partial ypartial t é a taxa de variação do deslocamento em relação ao tempo . Matematicamente, é a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Vamos calcular essa derivada:
y(x, t) = 15 cos(pi x - 15pi t)
Derivando em relação a vt = partial ypartial t = 15 cdot (-15pi) sin(pi x - 15pi t) :
vt = -225pi sin(pi x - 15pi t)

Passo 5

Como queremos a velocidade quando o deslocamento y = 15 cos(theta) = 12 , vamos encontrar o ângulo cos(theta) = 1215 = 0.8 tal que:
theta = arccos(0.8)

Passo 6

Agora, substituímos vt = -225pi sin(theta) na expressão da velocidade:
Sabemos que

Passo 7

Portanto, a velocidade transversa é:
vt = -225pi times 0.6 = -135pi cm/s
O sinal negativo indica a direção da velocidade, mas o valor absoluto nos interessa para a magnitude.

Resposta

A velocidade transversa da onda no ponto com deslocamento de 12 cm é , aproximadamente .

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