A função
, com
em metros e t em segundos, descreve uma onda em uma corda esticada. Qual é a velocidade transversal da onda em um ponto da corda no instante em que o ponto possui um deslocamento
?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que descreve o movimento de uma onda em uma corda esticada:
O conteúdo envolvido aqui é o estudo de ondas, especificamente sobre a velocidade transversa de uma onda. Para resolver este problema, precisamos entender como calcular a velocidade de uma partícula na corda quando ela está oscilando transversalmente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da função dada:
-
é a amplitude da onda. - A expressão dentro do cosseno,
, representa a fase da onda, onde: -
é o número de onda. -
é a frequência angular.
-
Passo 3
A velocidade transversa
é a taxa de variação do deslocamento
em relação ao tempo
. Matematicamente, é a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Vamos calcular essa derivada:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Como queremos a velocidade quando o deslocamento
, vamos encontrar o ângulo
tal que:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão da velocidade:
Sabemos que
Passo 7
Portanto, a velocidade transversa é:
O sinal negativo indica a direção da velocidade, mas o valor absoluto nos interessa para a magnitude.
Resposta
A velocidade transversa da onda no ponto com deslocamento de 12 cm é
, aproximadamente
.