Encontre f^prime :
© f(t)=sen t cdot cos t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Isso envolve o conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente a regra do produto. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas básicas e aplicar a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra do produto. Se você tem uma função que é o produto de duas outras funções, tipo f'(t) = g'(t) cdot h(t) + g(t) cdot h'(t) , a derivada é dada por:
Ou seja, a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda.

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções g(t) = sin t e h(t) = cos t e na nossa função:
Precisamos então encontrar e .

Passo 4

Vamos derivar g'(t) = cos t :
h'(t) = -sin t
E derivar :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do produto usando as derivadas que encontramos:
f'(t) = g'(t) cdot h(t) + g(t) cdot h'(t) = cos t cdot cos t + sin t cdot (-sin t)

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
f'(t) = cos^2 t - sin^2 t
Essa é a derivada final da função .

Resposta

A derivada de f'(t) = cos^2 t - sin^2 t é:

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