Suponha que cinco amigos querem formar uma banda. Para tal, eles possuem cinco instrumentos musicais, e cada um escolherá um instrumento de acordo com suas aptidões. Considere que dois desses amigos saibam tocar todos os instrumentos e os outros três saibam tocar, cada um deles, apenas três (bateria, guitarra e violino). Nesse cenário, de quantas formas distintas os cinco amigos podem formar a banda?

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre cinco amigos que querem formar uma banda com cinco instrumentos musicais. Dois desses amigos sabem tocar todos os instrumentos, enquanto os outros três sabem tocar apenas bateria, guitarra e violino. Nosso objetivo é descobrir de quantas maneiras diferentes eles podem escolher os instrumentos para formar a banda. Para resolver isso, vamos usar conceitos de permutação e combinação, que fazem parte da matéria de probabilidade e contagem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais instrumentos estão disponíveis. Como temos cinco instrumentos e três deles (bateria, guitarra e violino) só podem ser tocados por três dos amigos, os outros dois instrumentos poderão ser tocados apenas pelos dois amigos versáteis.

Passo 3

Vamos dividir o problema em duas partes:
  1. Distribuir os instrumentos que só podem ser tocados pelos versáteis (os outros dois instrumentos).
  2. Distribuir os instrumentos que podem ser tocados por qualquer um (bateria, guitarra e violino).

Passo 4

Parte 1: Distribuir os dois instrumentos restritos.
Como apenas os dois amigos versáteis podem tocar esses dois instrumentos, precisamos atribuir cada instrumento a um dos dois versáteis. A ordem importa aqui porque cada instrumento é diferente.
Para o primeiro instrumento restringido, temos 2 opções (amigo A ou amigo B). Depois, para o segundo instrumento restringido, teremos apenas 1 opção restante.
Então, as maneiras de distribuir os dois instrumentos restritos são:
2 times 1 = 2 maneiras.

Passo 5

Parte 2: Distribuir os três instrumentos que qualquer um pode tocar (bateria, guitarra e violino).
Agora, restam três amigos (os que só sabem tocar bateria, guitarra e violino) e dois amigos versáteis (já que eles também podem tocar esses instrumentos). Mas lembrando que os versáteis já estão tocando os instrumentos restritos, visto que já foram atribuídos anteriormente.
Então, na verdade, apenas os três amigos restantes podem tocar bateria, guitarra e violino.
Aqui, estamos atribuindo três instrumentos a três pessoas, onde a ordem importa. Isso é uma permutação de 3 elementos:
3! = 3 times 2 times 1 = 6 maneiras.

Passo 6

Agora, precisamos combinar as duas partes. Para cada maneira de distribuir os instrumentos restritos, há 6 maneiras de distribuir os demais instrumentos.
Então, multiplicamos as duas quantidades:
2 times 6 = 12 maneiras.

Resposta

Assim, existem 12 formas distintas de os cinco amigos formarem a banda.

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