Seja X uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
F(x)= 0 & se x<0 1-e^-x & se x >= 0
c) P(1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma variável aleatória F(x)= 0 & se x < 0 1 - e^-x & se x >= 0 com uma função de distribuição acumulada (FDA) dada por:
Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de estar entre 1 e 2, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de função de distribuição acumulada e probabilidade de intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de distribuição acumulada P(a < X <= b) = F(b) - F(a) nos dá a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a um certo valor , ou seja, .
Então, para encontrar , podemos usar a seguinte propriedade:
Nesse caso, e .

Passo 3

Vamos calcular F(2) = 1 - e^-2 e F(1) = 1 - e^-1 usando a função de distribuição acumulada fornecida:
Para (que é maior ou igual a 0):
Para (também maior ou igual a 0):

Passo 4

Agora, aplicando a propriedade que mencionamos:
P(1 < X <= 2) = F(2) - F(1) = (1 - e^-2) - (1 - e^-1)
Simplificando:
P(1 < X <= 2) = e^-1 - e^-2

Passo 5

Vamos calcular os valores numéricos:
Sabemos que:
e^-1 approx 0,3679 e^-2 approx 0,1353
Então:
P(1 < X <= 2) = 0,3679 - 0,1353 = 0,2326

Resposta

A probabilidade de estar entre 1 e 2 é aproximadamente 0,2326 ou 23,26%.

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