• Se a função de densidade de Xe Y é dada por
f(x, y)=cc x+y & 0á
Encontre a função de distribuição correspondente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função de distribuição a partir da função de densidade conjunta dada:
f(x, y)=cc x+y & 0á
Para isso, vamos precisar usar o conceito de função de distribuição conjunta, que representa a probabilidade de que as variáveis aleatórias e sejam menores ou iguais a certos valores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de distribuição conjunta F(x, y) = P(X <= x, Y <= y) é definida como:
Isso significa que precisamos integrar a função de densidade sobre os intervalos de e que vão de 0 até e , respectivamente.

Passo 3

Então, a fórmula para calcular F(x, y) = integral0^x integral0^y (t + s) , ds , dt é:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 4

Primeiro, integramos em relação a integral0^y (t + s) , ds = integral0^y t , ds + integral0^y s , ds = t y + y^22 :
Aqui, integrou-se em relação a , que é como tratar como constante, e depois integrou-se .

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a F(x, y) = integral0^x ( t y + y^22 ) dt = integral0^x t y , dt + integral0^x y^22 , dt :

Passo 6

Resolvendo as integrais:
integral0^x t y , dt = y cdot x^22
e
integral0^x y^22 , dt = y^22 cdot x

Passo 7

Somando os resultados:
F(x, y) = y cdot x^22 + y^22 cdot x = x^2 y2 + x y^22 = x y (x + y)2

Resposta

A função de distribuição conjunta é:
F(x, y) = x y (x + y)2 para 0 < x < 1 e 0 < y < 1

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