- Se a função de densidade de Xe Y é dada por
Encontre a função de distribuição correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função de distribuição a partir da função de densidade conjunta dada:
Para isso, vamos precisar usar o conceito de função de distribuição conjunta, que representa a probabilidade de que as variáveis aleatórias
e
sejam menores ou iguais a certos valores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de distribuição conjunta
é definida como:
Isso significa que precisamos integrar a função de densidade
sobre os intervalos de
e
que vão de 0 até
e
, respectivamente.
Passo 3
Então, a fórmula para calcular
é:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 4
Primeiro, integramos em relação a
:
Aqui, integrou-se
em relação a
, que é como tratar
como constante, e depois integrou-se
.
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
:
Passo 6
Resolvendo as integrais:
e
Passo 7
Somando os resultados:
Resposta
A função de distribuição conjunta é: