• A variável aleatória ( X, Y ) tem densidade constante igual a 4 na região A subset R2 definida por A=(x, y)) / 0. Determine F(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma variável aleatória bidimensional, ou seja, duas variáveis aleatórias relacionadas, chamadas de X e Y. A densidade de probabilidade conjunta delas é constante e igual a 4 na região A definida por A = (x, y) mid 0 < y < x, x + y < 1. Nosso objetivo é determinar a função de distribuição acumulada conjunta, que a gente chama de F(x, y).
Conteúdo da matéria: Estabilidade de variáveis aleatórias contínuas e cálculo de funções de distribuição acumulada.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é uma função de densidade de probabilidade conjunta.
  • Saber como calcular a função de distribuição acumulada a partir da densidade.
  • Integrar funções sobre regiões específicas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada conjunta, F(x, y). Ela representa a probabilidade de que a variável X seja menor ou igual a x e, ao mesmo tempo, a variável Y seja menor ou igual a y. Matematicamente, isso é expresso como:
F(x, y) = P(X <= x, Y <= y)
Para calcular essa probabilidade, precisamos integrar a densidade de probabilidade conjunta f(u, v) sobre a região onde u <= x, v <= y, e que também satisfaz as condições da região A.

Passo 3

Vamos identificar a região de integração. Sabemos que A = (x, y) mid 0 < y < x, x + y < 1. Precisamos considerar as interseções dessas condições com u <= x e v <= y.
Vamos desenhar ou imaginar o plano cartesiano e identificar os limites:
  1. 0 < v < u: Isso significa que estamos acima da linha v = 0 e abaixo da linha v = u.
  2. u + v < 1: Isso é a região abaixo da linha u + v = 1.
  3. u <= x e v <= y: Estamos limitando a região para u até x e v até y.
Dependendo dos valores de x e y, a forma da região de integração pode mudar, mas vamos considerar o caso geral para encontrar F(x, y).

Passo 4

A função de distribuição acumulada conjunta é dada pela integral dupla da densidade sobre a região de interesse. Assim, temos:
F(x, y) = integralv=0^y integralu=v^min(x, 1 - v) 4 , du , dv
Explicação da integração:
  • Integramos u de v até o menor valor entre x e 1 - v. Isso garante que u + v < 1 e u <= x.
  • Integramos v de 0 até y porque v varia de 0 até o valor máximo y.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integralu=v^min(x, 1 - v) 4 , du = 4 [ u ]u=v^min(x, 1 - v) = 4 ( min(x, 1 - v) - v )
Agora, precisamos considerar duas condições:
  1. Se x + y <= 1:
    Nesse caso, min(x, 1 - v) = x, porque x < 1 - v.
  2. Se x + y > 1:
    Aqui, min(x, 1 - v) = 1 - v, já que 1 - v < x.

Passo 6

Vamos calcular a integral para cada caso:
  1. Caso 1: x + y <= 1
F(x, y) = integral0^y 4(x - v) , dv = 4x integral0^y dv - 4 integral0^y v , dv = 4x y - 4 [ v^22 ]0^y = 4x y - 2y^2
  1. Caso 2: x + y > 1
F(x, y) = integral0^y 4(1 - v - v) , dv = integral0^y 4(1 - 2v) , dv = 4 integral0^y (1 - 2v) , dv = 4 [ v - v^2 ]0^y = 4y - 4y^2

Passo 7

Portanto, juntando os dois casos, a função de distribuição acumulada conjunta F(x, y) é:
F(x, y) = 4xy - 2y^2, & se x + y <= 1 4y - 4y^2, & se x + y > 1

Resposta

A função de distribuição acumulada conjunta F(x, y) é dada por
F(x, y) = 4xy - 2y^2, & se x + y <= 1 4y - 4y^2, & se x + y > 1

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