• A variável aleatória ( ) tem densidade constante igual a 4 na região definida por . Determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma variável aleatória bidimensional, ou seja, duas variáveis aleatórias relacionadas, chamadas de e . A densidade de probabilidade conjunta delas é constante e igual a 4 na região definida por . Nosso objetivo é determinar a função de distribuição acumulada conjunta, que a gente chama de .
Conteúdo da matéria: Estabilidade de variáveis aleatórias contínuas e cálculo de funções de distribuição acumulada.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é uma função de densidade de probabilidade conjunta.
  • Saber como calcular a função de distribuição acumulada a partir da densidade.
  • Integrar funções sobre regiões específicas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada conjunta, . Ela representa a probabilidade de que a variável seja menor ou igual a e, ao mesmo tempo, a variável seja menor ou igual a . Matematicamente, isso é expresso como:
Para calcular essa probabilidade, precisamos integrar a densidade de probabilidade conjunta sobre a região onde , , e que também satisfaz as condições da região .

Passo 3

Vamos identificar a região de integração. Sabemos que . Precisamos considerar as interseções dessas condições com e .
Vamos desenhar ou imaginar o plano cartesiano e identificar os limites:
  1. : Isso significa que estamos acima da linha e abaixo da linha .
  2. : Isso é a região abaixo da linha .
  3. e : Estamos limitando a região para até e até .
Dependendo dos valores de e , a forma da região de integração pode mudar, mas vamos considerar o caso geral para encontrar .

Passo 4

A função de distribuição acumulada conjunta é dada pela integral dupla da densidade sobre a região de interesse. Assim, temos:
Explicação da integração:
  • Integramos de até o menor valor entre e . Isso garante que e .
  • Integramos de até porque varia de 0 até o valor máximo .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, precisamos considerar duas condições:
  1. Se :
    Nesse caso, , porque .
  2. Se :
    Aqui, , já que .

Passo 6

Vamos calcular a integral para cada caso:
  1. Caso 1:
  1. Caso 2:

Passo 7

Portanto, juntando os dois casos, a função de distribuição acumulada conjunta é:

Resposta

A função de distribuição acumulada conjunta é dada por

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