- A variável aleatória (
) tem densidade constante igual a 4 na região
definida por
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma variável aleatória bidimensional, ou seja, duas variáveis aleatórias relacionadas, chamadas de
e
. A densidade de probabilidade conjunta delas é constante e igual a 4 na região
definida por
. Nosso objetivo é determinar a função de distribuição acumulada conjunta, que a gente chama de
.
Conteúdo da matéria: Estabilidade de variáveis aleatórias contínuas e cálculo de funções de distribuição acumulada.
O que vamos precisar:
- Entender o que é uma função de densidade de probabilidade conjunta.
- Saber como calcular a função de distribuição acumulada a partir da densidade.
- Integrar funções sobre regiões específicas no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada conjunta,
. Ela representa a probabilidade de que a variável
seja menor ou igual a
e, ao mesmo tempo, a variável
seja menor ou igual a
. Matematicamente, isso é expresso como:
Para calcular essa probabilidade, precisamos integrar a densidade de probabilidade conjunta
sobre a região onde
,
, e que também satisfaz as condições da região
.
Passo 3
Vamos identificar a região de integração. Sabemos que
. Precisamos considerar as interseções dessas condições com
e
.
Vamos desenhar ou imaginar o plano cartesiano e identificar os limites:
-
: Isso significa que estamos acima da linha e abaixo da linha . -
: Isso é a região abaixo da linha . -
e : Estamos limitando a região para até e até .
Dependendo dos valores de
e
, a forma da região de integração pode mudar, mas vamos considerar o caso geral para encontrar
.
Passo 4
A função de distribuição acumulada conjunta é dada pela integral dupla da densidade sobre a região de interesse. Assim, temos:
Explicação da integração:
- Integramos
de até o menor valor entre e . Isso garante que e . - Integramos
de até porque varia de 0 até o valor máximo .
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, precisamos considerar duas condições:
-
Se
:
Nesse caso,, porque . -
Se
:
Aqui,, já que .
Passo 6
Vamos calcular a integral para cada caso:
- Caso 1:
- Caso 2:
Passo 7
Portanto, juntando os dois casos, a função de distribuição acumulada conjunta
é:
Resposta
A função de distribuição acumulada conjunta
é dada por
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