- A variável aleatória (X,Y) tem densidade igual a
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória conjunta (X, Y) com uma função de densidade dada por
para
e
. O objetivo aqui é encontrar a função de distribuição acumulada conjunta, que a gente chama de
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integrais duplas, já que estamos lidando com duas variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada conjunta
. Ela representa a probabilidade de que
seja menor ou igual a um certo valor
e
seja menor ou igual a um certo valor
ao mesmo tempo. Matematicamente, isso é expresso por:
Para encontrar essa probabilidade, precisamos integrar a função de densidade conjunta
sobre a região onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular
. A integral dupla vai nos ajudar a acumular as probabilidades na região desejada. Então, temos:
Aqui, usamos
e
como variáveis de integração para evitar confusão com os limites
e
.
Passo 4
Vamos resolver a integral de dentro primeiro, que é em relação a
:
A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de 0 a
:
Agora, vamos integrar isso em relação a
:
Como
é uma constante em relação a
, podemos tirar da integral:
A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de 0 a
:
Resposta
A função de distribuição acumulada conjunta é:
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Lima uma contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30 . Uma bolinha é escolhida e é observado seu número. Seja
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a) o número obrido é par
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- A variável aleatória bidimensional (
) tem função de densidade dada pela expressão .
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c) o número obrido é primo
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- A função densidade de probabilidade conjunta de X e Y é dada por
(a) Verifique que esta é de fato uma função densidade conjunta.
(b) Calcule a função densidade de X .
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(d) Determine.