• A variável aleatória (X,Y) tem densidade igual a f(x, y)=4 e^-2(x+y) x>0, y>0. Determine F(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória conjunta (X, Y) com uma função de densidade dada por para e . O objetivo aqui é encontrar a função de distribuição acumulada conjunta, que a gente chama de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integrais duplas, já que estamos lidando com duas variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada conjunta F(x, y) = P(X <= x, Y <= y) . Ela representa a probabilidade de que seja menor ou igual a um certo valor e seja menor ou igual a um certo valor ao mesmo tempo. Matematicamente, isso é expresso por:
Para encontrar essa probabilidade, precisamos integrar a função de densidade conjunta sobre a região onde e .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular F(x, y) = integral0^x integral0^y 4 e^-2(u+v) , dv , du . A integral dupla vai nos ajudar a acumular as probabilidades na região desejada. Então, temos:
Aqui, usamos e como variáveis de integração para evitar confusão com os limites e .

Passo 4

Vamos resolver a integral de dentro primeiro, que é em relação a integral0^y 4 e^-2(u+v) , dv = 4 e^-2u integral0^y e^-2v , dv :
integral e^-2v , dv = -12 e^-2v + C
A integral de 4 e^-2u [ -12 e^-2v ]0^y = 4 e^-2u ( -12 e^-2y + 12 ) = 2 e^-2u (1 - e^-2y) em relação a F(x, y) = integral0^x 2 e^-2u (1 - e^-2y) , du é:
F(x, y) = 2 (1 - e^-2y) integral0^x e^-2u , du
Aplicando os limites de 0 a integral e^-2u , du = -12 e^-2u + C :
2 (1 - e^-2y) [ -12 e^-2u ]0^x = 2 (1 - e^-2y) ( -12 e^-2x + 12 ) = (1 - e^-2y) (1 - e^-2x)
Agora, vamos integrar isso em relação a :
Como é uma constante em relação a , podemos tirar da integral:
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de 0 a :

Resposta

A função de distribuição acumulada conjunta é:
F(x, y) = (1 - e^-2x) cdot (1 - e^-2y)

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