• A variável aleatória (X,Y) tem densidade igual a . Determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória conjunta (X, Y) com uma função de densidade dada por para e . O objetivo aqui é encontrar a função de distribuição acumulada conjunta, que a gente chama de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integrais duplas, já que estamos lidando com duas variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada conjunta . Ela representa a probabilidade de que seja menor ou igual a um certo valor e seja menor ou igual a um certo valor ao mesmo tempo. Matematicamente, isso é expresso por:
Para encontrar essa probabilidade, precisamos integrar a função de densidade conjunta sobre a região onde e .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular . A integral dupla vai nos ajudar a acumular as probabilidades na região desejada. Então, temos:
Aqui, usamos e como variáveis de integração para evitar confusão com os limites e .

Passo 4

Vamos resolver a integral de dentro primeiro, que é em relação a :
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de 0 a :
Agora, vamos integrar isso em relação a :
Como é uma constante em relação a , podemos tirar da integral:
A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de 0 a :

Resposta

A função de distribuição acumulada conjunta é:

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    (a) Verifique que esta é de fato uma função densidade conjunta.
    (b) Calcule a função densidade de X .
    © Determine .
    (d) Determine .