A função densidade de probabilidade conjunta do vetor aleatório (X1, X2) é dada por:
fX1, X2(x1, x2)=k IA(x)
em que A é a região formada pelas retas que passam pelos pontos (0,0),(1,1),(0,2) e (-1,1).
Encontre a imagem do vetor aleatório (X1, X2) e desenhe no plano a região que define esse conjunto.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função densidade de probabilidade conjunta para um vetor aleatório (X1, X2), definida por fX1, X2(x1, x2) = k , IA(x). A região A é delimitada pelas retas que passam pelos pontos (0,0), (1,1), (0,2) e (-1,1). Nosso objetivo é encontrar a imagem desse vetor aleatório, ou seja, identificar quais valores (X1, X2) podem ocorrer, e desenhar no plano a região que define esse conjunto. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de funções densidade de probabilidade, regiões no plano cartesiano e como determinar constantes de normalização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função densidade de probabilidade conjunta fX1, X2(x1, x2) = k , IA(x). Aqui, IA(x) é a função indicadora da região A, ou seja, ela vale 1 se o ponto (x1, x2) está dentro da região A e 0 caso contrário. Isso significa que a densidade só é positiva dentro de A.

Passo 3

Para encontrar a constante k, precisamos usar a condição de que a integral da função densidade sobre todo o espaço é igual a 1. Então:
integral duplaR^2 fX1, X2(x1, x2) , dx1 , dx2 = 1
Como fX1, X2 é zero fora de A, a integral se reduz a:
k integral duplaA 1 , dx1 , dx2 = 1
Ou seja, k é o inverso da área da região A:
k = 1Área de A Á

Passo 4

Agora, vamos determinar a área da região A. A região é formada pelas retas que passam pelos pontos (0,0), (1,1), (0,2) e (-1,1). Vamos traçar essas retas:
  1. De (0,0) a (1,1): reta y = x
  2. De (1,1) a (0,2): reta que conecta esses pontos
  3. De (0,2) a (-1,1): reta que conecta esses pontos
  4. De (-1,1) a (0,0): reta que conecta esses pontos
Ao traçar essas retas, vemos que a região A forma um losango ou um quadrilátero simétrico.

Passo 5

Para calcular a área de A, podemos dividir o losango em dois triângulos. Por exemplo, o triângulo formado por (0,0), (1,1) e (0,2), e outro formado por (0,0), (-1,1) e (0,2).
A área de um triângulo com vértices (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3) é dada por:
Área = 12 |(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))| Á
Calculando para o primeiro triângulo:
Área1 = 12 |0(1 - 2) + 1(2 - 0) + 0(0 - 1)| = 12 |0 + 2 + 0| = 1 Á
Para o segundo triângulo:
Área2 = 12 |0(1 - 2) + (-1)(2 - 0) + 0(0 - 1)| = 12 |0 - 2 + 0| = 1 Á
Então, a área total de A é 1 + 1 = 2.

Passo 6

Com a área de A calculada, podemos determinar a constante k:
k = 1Área de A = 12 Á
Então, a função densidade de probabilidade conjunta fica:
fX1, X2(x1, x2) = 12 IA(x)

Passo 7

Agora, para encontrar a imagem do vetor aleatório (X1, X2), precisamos identificar todos os pontos (x1, x2) que pertencem à região A. Com base nos pontos dados e nas retas que formam A, concluímos que a imagem é o conjunto de todos os pontos dentro do losango delimitado por (0,0), (1,1), (0,2) e (-1,1).

Passo 8

Para desenhar essa região no plano, imagine um losango com os seguintes vértices:
  • Ponto inferior: (0,0)
  • Ponto direito: (1,1)
  • Ponto superior: (0,2)
  • Ponto esquerdo: (-1,1)
Ligue esses pontos com linhas retas para formar o losango. Toda a área interna a esse losango representa a imagem do vetor aleatório (X1, X2).

Resposta

A imagem do vetor aleatório (X1, X2) é o conjunto de todos os pontos dentro do losango formado pelos vértices (0,0), (1,1), (0,2) e (-1,1). A região que define esse conjunto pode ser representada no plano cartesiano conectando esses quatro pontos com linhas retas.

Exercícios relacionados