A função densidade de probabilidade conjunta do vetor aleatório
é dada por:
em que
é a região formada pelas retas que passam pelos pontos
e
.
Encontre a imagem do vetor aleatório
e desenhe no plano a região que define esse conjunto.
Encontre a imagem do vetor aleatório
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função densidade de probabilidade conjunta para um vetor aleatório
, definida por
. A região
é delimitada pelas retas que passam pelos pontos
,
,
e
. Nosso objetivo é encontrar a imagem desse vetor aleatório, ou seja, identificar quais valores
podem ocorrer, e desenhar no plano a região que define esse conjunto. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de funções densidade de probabilidade, regiões no plano cartesiano e como determinar constantes de normalização.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função densidade de probabilidade conjunta
. Aqui,
é a função indicadora da região
, ou seja, ela vale 1 se o ponto
está dentro da região
e 0 caso contrário. Isso significa que a densidade só é positiva dentro de
.
Passo 3
Para encontrar a constante
, precisamos usar a condição de que a integral da função densidade sobre todo o espaço é igual a 1. Então:
Como
é zero fora de
, a integral se reduz a:
Ou seja,
é o inverso da área da região
:
Passo 4
Agora, vamos determinar a área da região
. A região é formada pelas retas que passam pelos pontos
,
,
e
. Vamos traçar essas retas:
- De
a : reta y = x - De
a : reta que conecta esses pontos - De
a : reta que conecta esses pontos - De
a : reta que conecta esses pontos
Ao traçar essas retas, vemos que a região
forma um losango ou um quadrilátero simétrico.
Passo 5
Para calcular a área de
, podemos dividir o losango em dois triângulos. Por exemplo, o triângulo formado por
,
e
, e outro formado por
,
e
.
A área de um triângulo com vértices
,
e
é dada por:
Calculando para o primeiro triângulo:
Para o segundo triângulo:
Então, a área total de
é
.
Passo 6
Com a área de
calculada, podemos determinar a constante
:
Então, a função densidade de probabilidade conjunta fica:
Passo 7
Agora, para encontrar a imagem do vetor aleatório
, precisamos identificar todos os pontos
que pertencem à região
. Com base nos pontos dados e nas retas que formam
, concluímos que a imagem é o conjunto de todos os pontos dentro do losango delimitado por
,
,
e
.
Passo 8
Para desenhar essa região no plano, imagine um losango com os seguintes vértices:
- Ponto inferior:
- Ponto direito:
- Ponto superior:
- Ponto esquerdo:
Ligue esses pontos com linhas retas para formar o losango. Toda a área interna a esse losango representa a imagem do vetor aleatório
.
Resposta
A imagem do vetor aleatório
é o conjunto de todos os pontos dentro do losango formado pelos vértices
,
,
e
. A região que define esse conjunto pode ser representada no plano cartesiano conectando esses quatro pontos com linhas retas.